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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

UFSCAR – Cálculo 2 – Banco de Questões – Questão 13

A energia cinética de um corpo com massa m e velocidade v é K = m v 2 2 . Nestas condições a afirmação ∂ K ∂ m . ∂ 2 K ∂ v 2 = K é verdadeira ou falsa?

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O enunciado perguntou se aquela afirmativa está correta, isso só tem um cheiro: de derivadas parciais!

Para resolver esse tipo de questão usamos esses passos:

- Isolar a expressão da variável que a gente quer derivar: tipo m em função de v e etc...

- Derivar a expressão como pede na afirmação: tipo ∂ K / ∂ m ...

- E substituir os resultados na afirmação e verificar se o resultado se confirma.

Mas fique tranquilo que vou fazer passo a passo junto com você! Vamos nessa?

Passo 2

Sabendo que K = m v 2 2 a afirmativa nos diz que:

∂ K ∂ m . ∂ 2 K ∂ v 2 = K

Repara que temos duas derivadas diferentes ali.

Então, precisamos encontrar ∂ K ∂ m e ∂ 2 K ∂ v 2 e então, multiplicar os resultados e verificar se é igual a K .

Primeiro vamos achar a expressão de K em função de m . É a própria expressão né:

K = m v 2 2

E agora derivando em relação a m e lembrando que a velocidade v será vista como uma constante, temos:

∂ K ∂ m = v 2 2

Beleza?

Agora vamos fazer o mesmo procedimento, mas agora para v . Derivando K em relação a v , agora quem será vista como uma constante é a massa m . Assim, temos:

∂ K ∂ v = 2 m v 2 = m v

E agora derivando de novo:

∂ 2 K ∂ v = m

Tranquilo?

Passo 3

Agora vamos juntar os resultados e multiplicar:

∂ K ∂ m = v 2 2

E

∂ 2 K ∂ v = m

Agora vamos verificar se a afirmação está correta:

∂ K ∂ m . ∂ 2 K ∂ v = v 2 2 . m = m v 2 2 = K

É verdadeira!

Então a afirmativa está correta!

Belezinha?

Espero ter lhe ajudado!

Resposta

v e r d a d e i r a

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