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Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

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Enunciado

UFSCAR – Cálculo 2 – Banco de Questões – Questão 24

Caminhando sobre a intersecção do elipsoide x 2 + y 2 + 4 z 2 = 16 com o plano 2 x + y + z = 0 os pontos de menor distância à origem podem ser encontrados nas subsoluções ( x , y , z ) do sistema de _____ equações e ____ incógnitas:

        x ,       y ,       z = λ       x ,   2 y ,         z + μ       ,   1 ,         ,   x 2 + y 2 + 4 z 2 = 16   e   2 x + y + z = 0

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece estranha! Mas estou aqui para te ajudar! Vamos lá?

O enunciado deu várias restrições (elipsoide e plano), pediu os pontos de MENOR distância, isso só tem um cheiro: de multiplicadores de Lagrange com duas restrições!

A função a ser minimizada é a função distância (que pode ser o quadrado dela, fica mais fácil!):

d 2 = x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2

E queremos até a origem! Então ela fica mais fácil ainda:

f x , y , z = d 2 = x 2 + y 2 + z 2

E duas restrições: o elipsoide

x 2 + y 2 + 4 z 2 = 16

Que pode ser escrita assim:

g x , y , z = x 2 + y 2 + 4 z 2 - 16

E o plano:

h x , y , z = 2 x + y + z = 0

Como relembrar é viver, esse teorema nos diz que:

∇ f = λ ∇ g + μ ∇ h

A ideia aqui é calcular os gradientes, substituir na equação ali em cima e ver quais são os coeficientes que ele nos pede!

Mas uma coisa já podemos responder: teremos 5 incógnitas ( x , y , z , λ , μ ) e 5 equações: 3 que vão sair do sistema do teorema e mais 2 restrições.

Mas vamos fazer os poucos, beleza?

Vamos nessa?

Passo 2

Os gradientes!

Primeiro da função f :

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

∇ f = ( 2 x , 2 y , 2 z )

Agora da restrição do elipsoide:

g x , y , z = x 2 + y 2 + 4 z 2 - 16

∇ g = ( 2 x , 2 y , 8 z )

E por fim do plano:

h x , y , z = 2 x + y + z

∇ h = ( 2,1 , 1 )

Beleza?

Passo 3

Agora vamos aplicar esses vetores na equação dos multiplicadores:

∇ f = λ ∇ g + μ ∇ h

2 x , 2 y , 2 z = λ 2 x , 2 y , 8 z + μ ( 2,1 , 1 )

As equações saem determinadas quando a gente iguala as componentes dos vetores:

1 : 2 x = λ 2 x + 2 μ 2 : 2 y = λ 2 y + μ 3 : 2 z = λ 8 z + μ

E mais as duas restrições:

4 : x 2 + y 2 + 4 z 2 = 16   5 :   2 x + y + z = 0

Então temos:

  • 5 variáveis
  • 5 incógnitas
  • E os coeficientes faltantes estão em negrito:

    • 2 x , 2 y , 2 z = λ 2 x , 2 y , 8 z + μ ( 2 , 1 , 1 )

    O problema não nos pede pra resolver, então acabamos por aqui!

    Espero ter ajudado!

    Resposta

  • 5 variáveis
  • 5 incógnitas
  • E os coeficientes faltantes estão em negrito:

2 x , 2 y , 2 z = λ 2 x , 2 y , 8 z + μ ( 2 , 1 , 1 )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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