A taxa de variação máxima de f(x, y) = x² + yx + y² em P = (-1, 1) e a direção em que isso ocorre é:

  1. 2 * raiz(2) e 〈-1,1〉
  2. raiz(2) e 〈-1,1〉
  3. raiz(2) e 〈1,1〉
  4. 2 * raiz(2) e 〈1, -1〉

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O enunciado pediu a taxa de variação máxima e a direção onde isso ocorre, isso só tem um cheiro: de norma do gradiente aplicado no ponto e direção do gradiente!

Como relembrar é viver, para calcular essas coisas:

- calcular o gradiente de f

- aplicar no ponto (esse vetor que acharemos é a direção da maior taxa de variação)

- fazer a norma desse vetor (aí que vamos achar a taxa máxima)

Vamos nessa?

Passo 2

O gradiente da função f ( x ,   y )   =   x ² + y x + y ² é:

∇ → f = ∂ ∂ x x ² + y x + y ²   i ^ + ∂ ∂ y x ² + y x + y ²   j ^

∇ → f = 〈 2 x + y ; x + 2 y 〉

E agora aplicando esse vetor em P ( - 1,1 ) temos:

∇ → f - 1,1 = - 2 + 1 ;   - 1 + 2 = 〈 - 1 ; 1 〉

Tranquilo?

Passo 3

Agora vamos calcular a maior taxa: a norma do vetor que achamos!

∇ → f - 1,1 = - 1 2 + 1 2 = 2

Essa é a maior taxa. E a direção? É a direção do vetor mesmo: 〈 - 1,1 〉 .

A alternativa que tem essas respostas certinhas é a (b).

Resposta

( b )

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