UFSCAR – Cálculo 2 – Banco de Questões – Questão 20
A temperatura em um ponto (x, y) sobre uma placa metálica é , uma formiga sobre a chapa anda ao redor da circunferência de raio 5 centrada na origem. As temperaturas máxima e mínima encontradas pela formiga são:
Temperatura máxima:
Temperatura mínima:
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?
A ideia aqui é
- encontrar os pontos críticos dentro da região (ou seja, derivar parcialmente a função e igualar a zero, achar o ponto que satisfaça as duas expressões das derivadas) e
- depois substituir essas derivadas na restrição (chapa circular de raio ) e achar outros pontos
- por fim, fazer o teste desses pontos: substituir os pontos na função e ver qual é o maior e o menor.
Beleza? Vamos nessa?
Passo 2
A função temperatura é:
A derivada parcial em é:
E ela deve ser zero:
Agora a derivada parcial em :
E também deve ser zero:
Ora, essas expressões são satisfeitas quando . Então o primeiro ponto crítico é .
Passo 3
Agora substituindo na restrição temos:
E daí é:
E os pontos são:
Passo 4
Estamos quase no final! Falta testar os pontos críticos que achamos na função temperatura pra ver qual é a maior e a menor!
Os pontos são:
A função temperatura é:
Agora vamos testar um a um:
- Para :
- Para :
- Para :
Portanto, a temperatura máxima é e a mínima é .
Beleza?
Espero ter ajudado!