Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

A temperatura em um ponto (x, y) sobre uma placa metálica é T ( x ,   y )   =   4 x ² - 4 x y + y ² , uma formiga sobre a chapa anda ao redor da circunferência de raio 5 centrada na origem. As temperaturas máxima e mínima encontradas pela formiga são:

Temperatura máxima:

Temperatura mínima:

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

A ideia aqui é

  • encontrar os pontos críticos dentro da região (ou seja, derivar parcialmente a função e igualar a zero, achar o ponto que satisfaça as duas expressões das derivadas) e
  • depois substituir essas derivadas na restrição (chapa circular de raio 5 ) e achar outros pontos
  • por fim, fazer o teste desses pontos: substituir os pontos na função e ver qual é o maior e o menor.

Beleza? Vamos nessa?

Passo 2

A função temperatura é:

T x , y = 4 x 2 - 4 x y + y 2

A derivada parcial em x é:

T x = 8 x - 4 y

E ela deve ser zero:

8 x - 4 y = 0 ∴ 2 x = y

Agora a derivada parcial em y :

T y = - 4 x + 2 y

E também deve ser zero:

- 4 x + 2 y = 0 ∴ y = 2 x

Ora, essas expressões são satisfeitas quando x = y = 0 . Então o primeiro ponto crítico é ( 0,0 ) .

Passo 3

Agora substituindo y = 2 x na restrição x 2 + y 2 = 25 temos:

x 2 + 2 x 2 = 25

x 2 + 4 x 2 = 25

5 x 2 = 25

x 2 = 5 ∴ x = ± 5

E daí y é:

y = ± 2 5

E os pontos são:

5 ; 2 5

( - 5 ; - 2 5 )

Passo 4

Estamos quase no final! Falta testar os pontos críticos que achamos na função temperatura pra ver qual é a maior e a menor!

Os pontos são:

P 1 ( 0,0 )

P 2 5 ; 2 5

P 3 ( - 5 ; - 2 5 )

A função temperatura é:

T x , y = 4 x 2 - 4 x y + y 2

Agora vamos testar um a um:

  • Para P 1 ( 0,0 ) :
  • T P 1 = 4 . 0 2 - 4 . 0.0 + 0 2 = 0

  • Para P 2 ( 5 ; 2 5 ) :
  • T P 2 = 4 . ( 5 ) 2 - 4 . ( 5 ) . ( 2 5 ) + ( 2 5 ) 2

    T P 2 = 20 - 40 + 40 = 20 °

  • Para P 3 ( - 5 ; - 2 5 ) :

T P 3 = 4 . ( - 5 ) 2 - 4 . ( - 5 ) . ( - 2 5 ) + ( - 2 5 ) 2

T P 3 = 20 - 40 + 40 = 20 °

Portanto, a temperatura máxima é 20 ° e a mínima é 0 ° .

Beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

T m í n = 0 °

T m á x = 20 °

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