Seja f: R^2 → R uma função diferenciável. A frase:

“ Se o hessiano de f em um ponto p ∈ R^2 é positivo e (∂²f / ∂x²)(p) < 0 , então p é um ponto de máximo local de f

É:

Verdadeira ou falsa?

Passo 1

Oi, tudo bem? Vamos resolver juntos?

Essa é uma questão de classificação de pontos críticos!

Como relembrar é viver, o hessiano D de uma função f ( x , y ) é:

D ( x , y ) = f x x ( x , y ) f y y ( x , y ) - f ( x , y ) x y 2

Daí a classificação dessa função, quando aplicado em um ponto crítico p :

D ( p ) = f x x ( p ) f y y ( p ) - f ( p ) x y 2

Podemos ter alguns cenários:

  • Se D > 0 e f x x > 0   : p é ponto de MÍNIMO local
  • Se D > 0 e f x x < 0 : p é ponto de MÁXIMO local
  • Se D < 0 : p é ponto de SELA
  • Se D = 0 é inconclusivo

Passo 2

Passo 3

O enunciado nos diz que:

  • O hessiano (função D ) é positivo: D > 0
  • E que e ∂ 2 f ∂ x 2 p < 0 , então f x x = ∂ 2 f ∂ x 2 p < 0

Esse é o segundo caso! Do passo anterior!

Sendo assim p é um ponto de máximo local! E essa afirmativa é verdadeira!

Certo? Espero ter ajudado!

Resposta

v e r d a d e i r a

Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

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