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Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

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Enunciado

UFSCAR – Cálculo 2 – Banco de Questões – Questão 6

Existe uma direção na qual a taxa de variação de f ( x ,   y ) = x ² - 3 x y + 4 y ² em P(1,2) é igual a - 13 ?

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O enunciado perguntou se existe uma direção na qual a derivada direcional de f em algum ponto é - 13 . E isso só tem um jeito de saber: calculando a derivada direcional e tentando achar um vetor que aconteça isso!

Como relembrar é viver, a derivada direcional nos diz que:

∂ f ∂ v = ∇ → f ⋅ v → v →

v → , sem me preocupar com a normalização dele, pois só me pergunta se há alguma direção, blz?) e ver quais componentes que tornam esse produto escalar igual a - 13 .

Tranquilo? Quase né... mas calma que vou fazer com você! Cola aqui!

Passo 2

O gradiente dessa função f ( x ,   y ) = x ² - 3 x y + 4 y ² é:

∇ → f = ∂ ∂ x x 2 - 3 x y + 4 y 2 i ^ + ∂ ∂ y x 2 - 3 x y + 4 y 2 j ^

∇ → f = 〈 2 x - 3 y ;   - 3 x + 8 y 〉

E aplicado no ponto P ( 1,2 ) temos:

∇ → f 1,2 = 2.1 - 3.2 ;   - 3.1 + 8.2 = 〈 - 4 ; 13 〉

Beleza?

Passo 3

Agora vamos fazer o produto escalar com um vetor v → = a i ^ + b j ^ qualquer e igualar a - 13 :

- 4 ; 13 ⋅ a ; b = - 13

- 4 a + 13 b = - 13

b = - 1 + 4 13 a

Uma opção é quando a = 0 e com isso b = - 1 . Aí o vetor v →   (normalizado naturalmente) é:

v → = 〈 0 ; - 1 〉

Portanto sim, existe uma direção na qual a derivada é - 13 e é na direção de 〈 0 ; - 1 〉 .

Tranquilo?

Espero ter te ajudado!

Resposta

s i m ,   〈 0 ; - 1 〉

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