UFSCAR – Cálculo 2 – Banco de Questões – Questão 48
A frase: Se é uma função tal que em um ponto e é um vetor unitário, então é .....
Passo 1
Oi, tudo bem? Vamos resolver essa questão teórica juntos?
Mas calma que vou fazer passo a passo!
Vamos nessa?
Seja uma função e seja um ponto pertencente ao mesmo conjunto e que seja diferenciável em . Aí podemos dizer que o gradiente de em é:
Esse vetor é o vetor gradiente da função Ele indica a direção da maior taxa de variação.
Beleza até aqui?
Passo 2
Se o gradiente é zero em algum ponto , ou seja:
Isso significa que a função não está crescendo, nem decrescendo. Ela está em um ponto crítico.
Esse ponto crítico pode ser: de máximo, de mínimo ou de sela.
E quando quisermos a variação da função em uma certa direção?
Passo 3
Temos também a derivada direcional!
Podemos saber a taxa de variação da função em relação a um vetor unitário qualquer:
E é aqui que usamos o gradiente!
Como relembrar é viver: a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente da função com o vetor unitário :
E como o gradiente tem componentes nulas, não importa quais sejam as componentes de , a derivada direcional é SEMPRE zero:
Tranquilo?
Então essa frase é verdadeira.