UFSCAR – Cálculo 2 – Banco de Questões – Questão 1
Em que direção a derivada de em é zero?
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?
O problema pede em que direção a derivada de é zero. Então queremos que a derivada direcional de na direção do vetor (que ainda não conhecemos) seja zero. Bom, pra resolver essa questão a gente precisa lembrar da definição de derivada direcional:
É o produto escalar do vetor gradiente (aplicado no ponto que a gente quer) com o vetor (normalizado) da direção que queremos. O nosso problema nos dá a função e o ponto, e pede a direção do vetor.
Então os passos pra resolver essa questão são:
- achar o gradiente da função e aplicar no ponto dado;
- determinar um vetor qualquer e fazer o produto escalar entre eles
- por fim, igualar a zero e ver o que se acha!
Cola comigo e vamos lá!
Passo 2
A função é:
Aí o gradiente é:
E agora aplicando no ponto temos:
Beleza até aqui?
Passo 3
Um vetor qualquer pode ser o e o produto escalar do vetor com o gradiente aplicado no ponto é a multiplicação (componente a componente) dos dois vetores:
E esse produto tem que ser zero, daí temos a condição que:
E aqui temos várias opções! Duas opções são:
Ou
Mas esse vetor precisa estar normalizado (e pra isso o sinal não interessa, a normalização independe do sinal =D). O módulo é:
E aí o vetor normalizado cuja direção nos dá a derivada nula é:
Ou
Então é isso pessoal! Terminamos!
Espero ter te ajudado!
=D