UFSCAR – Cálculo 2 – Banco de Questões – Questão 13
Suponha que uma alpinista esta escalando um morro cujo formato é dado pela equação onde são dados em metros, e a alpinista esteja no ponto . O eixo positivo dos x aponta para o leste e o eixo positivo dos y aponta para o norte.
Se a alpinista caminhar para o sul:
- Ela irá subir a uma taxa de 2.2 metros verticais por metros horizontais
- Ela irá descer a uma taxa de 3.2 metros verticais por metros horizontais
- Ela irá descer a uma taxa de 2.2 metros verticais por metros horizontais
- Ela irá subir a uma taxa de 3.2 metros verticais por metros horizontais
- Ela permanecerá no mesmo nível
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?
O enunciado contou uma história sobre uma alpinista e perguntou o que acontece com ela se ela andar em determinada direção, isso só tem um cheiro: de derivada direcional!
A derivada direcional é dada por:
Como o enunciado disse que o eixo positivo de aponta para o norte, então, caminhar para o sul é a mesma coisa que ir no sentido negativo do eixo , ou seja, na direção do vetor .
Então a gente precisa achar o gradiente da função de superfície , aplicar no ponto dado, e fazer o produto escalar com o vetor que dá a direção do movimento.
Mas calma! Vou fazer juntinho com você! Cola comigo e vamos lá!
Passo 2
A função é:
E o gradiente é:
Vamos encontrar uma componente de cada vez:
Assim,
Beleza?
Passo 3
Agora vamos aplicar esse vetor o ponto dado :
E a direção do movimento é:
Normalmente a gente teria que normalizar esse vetor, mas repara só, ele já é unitário. Então
Passo 4
E agora fazer o produto escalar entre o vetor gradiente e vetor direção:
Portanto a resposta correta é: Ela irá descer a uma taxa de 3.2 metros verticais por metros horizontais
Letra (b)
Beleza?
Resposta
Ela irá descer a uma taxa de 3.2 metros verticais por metros horizontais