UFSCAR – Cálculo 2 – Banco de Questões – Questão 28
O valor Mínimo da função sobre a curva de interseções das superfícies e é ____.
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Essa questão é complicada! Mas estou aqui para te ajudar! Vamos lá?
O enunciado deu várias restrições (e ), pediu o MÍNIMO da função, isso só tem um cheiro: de multiplicadores de Lagrange com duas restrições!
A função a ser minimizada é a função:
E duas restrições: o círculo
Que pode ser escrita assim:
E a outra superfície:
Que pode ser escrita como:
Como relembrar é viver, esse teorema nos diz que:
A ideia aqui é calcular os gradientes, substituir na equação ali em cima e resolver o sistema!
Mas vamos fazer os poucos, beleza?
Passo 2
Os gradientes!
Primeiro da função :
Agora da restrição do elipsoide:
E por fim do plano:
Beleza?
Passo 3
Agora vamos aplicar esses vetores na equação dos multiplicadores:
As equações saem determinadas quando a gente iguala as componentes dos vetores:
E mais as duas restrições:
Da equação (3):
Daí de (2):
Agora de (1):
E agora de (4):
E por fim de (5):
Assim temos dois pontos:
Esses são nossos pontos críticos. Agora vamos substituir na função e ver quem é maior e menor!
Passo 4
Agora vamos aplicar esses pontos na função :
Testando :
E testando :
Os dois pontos dão o mesmo valor! Então é esse nosso resultado!
Beleza?
Espero ter ajudado!