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Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

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Enunciado

UFSCAR – Cálculo 2 – Banco de Questões – Questão 29

Sejam f :   R n → R uma função de classe C 1 e k ( k < n ) restrições g 1 x = 0 , g 2 x = 0 ..., g k x = 0 , em que g 1 , g 2 … , g k : R n → R       são funções de classe C 1 com vetores gradientes calculados em x linearmente independentes em cada x ∈ R n . Se x 0 ∈ R n é um ponto de máximo de f condicionalmente às referidas k restrições,então:

  1. x 0 é um ponto crítico de g 1 , g 2 , … , g k
  2. x 0 é um ponto de máximo local de f em R n
  3. ∇ f x 0 = λ 1 ∇ g 1 , ∇ f x 0 = λ 2 ∇ g 2 ,   … ,   ∇ f x 0 = λ k ∇ g k para certos λ 1 ,   λ 2 , … , λ k ∈ R
  4. Os vetores gradiente de f e g 1 ,   … ,   g k , calculados em x 0 são linearmente independentes
  5. Os vetores gradiente de f e g 1 ,   … ,   g k , calculados em x 0 são linearmente dependentes

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O enunciado nos deu várias afirmativas, a ideia é analisar uma a uma até achar a certa!

Começando com a primeira: “ x 0 é um ponto crítico de g 1 , g 2 , … , g k ”, esta errada! x 0 é um ponto crítico de f , e não das restrições =)

Passo 2

Agora a segunda: “ x 0 é um ponto de máximo local de f em R n ”, está errada também! Esse ponto é máximo condicional as restrições!

Passo 3

A terceira está amarrada com a quarta:

  1.   ∇ f x 0 = λ 1 ∇ g 1 , ∇ f x 0 = λ 2 ∇ g 2 ,   … ,   ∇ f x 0 = λ k ∇ g k para certos λ 1 ,   λ 2 , … , λ k ∈ R
  2. Os vetores gradiente de f e g 1 ,   … ,   g k , calculados em x 0 são linearmente independentes

    3. E essas duas estão erradas também!

    A teoria dos multiplicadores nos diz que:

    ∇ f = λ 1 ∇ g 1 + λ 2 ∇ g 2 + … + λ k ∇ g k

    E esses vetores são linearmente DEPENDENTES!

    Então essas duas estão erradas!

    Passo 4

    O que nos deixa com a quinta alternativa:

  3. Os vetores gradiente de f e g 1 ,   … ,   g k , calculados em x 0 são linearmente dependentes

E está CORRETO!

Beleza?

Espero ter ajduado!

Resposta

5

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