UFSCAR – Cálculo 2 – Banco de Questões – Questão 46
Seja a função definida por
a) Calcule os pontos crítico de
b) Calcule o hessiano de
c) encontre os pontos de máximo local, mínimo local e pontos de sela de f, caso existam. Calcule os respectivos valores de f em tais pontos.
d) Considere a curva do descrita pela equação . Utilize o método dos Multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo de em C.
e) Considere a região do dada por:
Porque f admite valores de máximo e mínimo em A? utilize os itens c) e d) para determinar os valores máximo e mínimo de f em A.
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Vamos resolver juntos?
Vamos resolver passo a passo tudo que ele pede.
Basicamente é a análise da função, com seus pontos críticos, classificação, máximos e mínimos. Depois ele coloca uma restrição e pede pra usar multiplicadores de Langrange.
Vamos nessa?
Passo 2
Letra a)
A expressão dada foi:
Para achar pontos críticos precisamos igualar a zero as derivadas parciais e resolver o sistema que surge.
Primeiro a derivada em :
E agora em :
Então aqui temos apenas um ponto!
O único ponto crítico dessa função é em .
Passo 3
Letra b)
Agora vamos calcular o tal de hessiano . O hessiano de uma função é uma expressão que envolve as derivadas parciais de segunda ordem da função que estamos estudando.
Como relembrar é viver, o hessiano é:
Precisamos calcular as derivadas de segunda ordem, começando por :
E agora a mista:
E por fim em :
E agora vamos colocar esses valores em :
Como independe de , então temos que sempre. O que faz sentido, pois só temos um ponto crítico e esse é um ponto bem determinado. Vamos classificar daqui a pouco!
Beleza até aqui?
Passo 4
Letra c):
Agora chegou a parte de classificação!
É a hora em que usamos o hessiano e as derivadas segundas! Para classificar um ponto, substituímos os valores das coordenadas na expressão do hessiano e analisamos o sinal.
Podemos ter quatro cenários:
- e : então o ponto aplicado é mínimo local
- e : então o ponto é de máximo local
- : ponto de sela
- : inconclusivo
No nosso caso e , então o ponto é ponto de máximo local.
E o valor da função nesse ponto é:
Passo 5
Letra d):
Agora vamos usar multiplicadores de Lagrange!
A função é:
E a restrição:
E que pode ser escrita assim:
E o teorema dos multiplicadores nos diz que o máx/mín da função sob a restrição vai ser quando a seguinte condição:
For satisfeita.
Beleza?
Sendo assim, precisamos calcular os gradientes.
Primeiro de :
Agora de :
E agora substituímos na equação de multiplicadores:
E comparando componente a componente temos um sistema de duas equações:
E mais uma equação com a restrição:
De (1) temos:
E de (2) temos:
E daí , então temos uma relação entre e :
Beleza?
Dividindo todos os termos por e multiplicando cruzado temos o seguinte:
Estamos quase lá!
Agora vamos substituir essa relação na restrição (3):
E daí temos os valores de :
E os pontos são:
Esses agora são os pontos críticos de na com a restrição dada.
E pra saber qual é o maior/menor, precisamos substituir na função:
E substituindo em :
E agora :
E comparando os dois resultados temos que , portanto:
E também:
Agora só falta a letra (e)!
Passo 6
Letra e):
A função admite vários valores porque está sob uma restrição! Sem restrição, a função está “livre” e pode assumir qualquer valor.
Quando temos uma restrição, podemos ter na fronteira algum (ou alguns) pontos em que a função cresce/diminui muito. Aí nesses pontos se olharmos a função sem restrição eles passam despercebidos, mas quando temos restrição eles aparecem como máximos ou mínimos.
Sendo assim temos três pontos críticos: um da função sem restrição e outros dois considerando uma restrição.
Resgatando os valores que a função assume nesses pontos temos:
E daí vemos que o ponto é onde a função tem seu valor máximo e no ponto ela assume seu mínimo.
Ufa! Acabamos!
Espero ter ajudado!