UFSCAR – Cálculo 2 – Banco de Questões – Questão 10
A temperatura em um ponto (x, y, z) é dada por onde é medido em graus Celsius e em metros.
A taxa de variação da temperatura no ponto em direção ao ponto é:
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?
O enunciado pediu a taxa de variação da função na direção de um vetor, isso só tem um cheiro: de derivada direcional!
Como relembrar é viver, a derivada direcional é:
Assim precisamos:
- Calcular o gradiente da função e aplicar no ponto
- Normalizar o vetor dado
- Fazer o produto escalar entre o vetor gradiente e o vetor normalizado
Vamos nessa?
Passo 2
O gradiente da função é:
E agora vamos aplicar no ponto dado
Tranquilo?
Passo 3
Agora vamos calcular a normalização do vetor!
O vetor é na direção do ponto , então o vetor é:
A norma desse vetor é:
E o vetor normal que dá a direção da taxa que queremos é:
Passo 4
Agora pra finalizar, vamos fazer o produto escalar entre os vetores:
E pra finalizar vamos racionalizar esse resultado:
Alternativa correta é .