UFSCAR – Cálculo 2 – Banco de Questões – Questão 40
A temperatura em um ponto é dada por , onde é medida em graus Celsius e em metros. A direção e sentido de maior aumento da temperatura a partir do ponto é dada pelo vetor unitário e a taxa de variação máxima da temperatura neste ponto é ..... graus Celsius por metro.
Passo 1
Oi, tudo bem? Parece complicado né?
Vamos resolver juntos?
O enunciado deu uma função temperatura e pediu o sentido da maior variação e a taxa de maior variação. Isso só tem um cheiro: gradiente!
O gradiente de uma função é o vetor que nos dá a direção e o sentido (quando normalizado) da MAIOR taxa de variação da função num ponto!
E a norma do vetor é justamente a taxa máxima de variação!
Então precisamos achar o vetor gradiente, achar sua norma (será a taxa máxima) e achar o vetor unitário que dá a direção dessa taxa máxima!
Sacou?
Mas calma que vou fazer passo a passo!
Vamos nessa?
Passo 2
A expressão dada foi:
Agora o gradiente é:
Beleza?
Passo 3
Agora vamos aplicar no ponto dado. Primeiro essa exponencial:
E agora o gradiente:
Em :
Então, esse é o vetor gradiente nesse ponto. Ele é quem nos diz (quando normalizado) a direção e o sentido da maior variação.
E sua norma nos diz a maior taxa naquele ponto. E são essas as duas informações que o problema nos pede.
Beleza até aqui?
Os próximos passos é encontrar a normalização, essa é a maior taxa, e depois dividir pelo vetor pra achar a direção e sentido.
Passo 4
Começando pela normalização:
E aqui já podemos completar uma das lacunas!
“variação máxima da temperatura neste ponto é .....”
O coeficiente que vai ali na frente é:
Passo 5
E agora dividindo o vetor pela normalização pra achar o vetor unitário :
Vou dividir em cima e embaixo por :
E aí completamos o que falta!
“é dada pelo vetor unitário ”
Os números que vão ali são: -1, 6 e -1
Beleza?
Espero ter ajudado!