Exercícios Resolvidos de Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Seja f : R 2 → R a função definida por

f x , y = 1 + x 3 y + 12 x 2 - 8 y

O ponto ______ é o único ponto de sela de f .

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas relaxa! Vamos resolver juntos?

O enunciado deu uma função, e perguntou qual ponto é de sela, isso só tem um cheiro: de máximos e mínimos!

Como relembrar é viver, para achar esse ponto precisamos:

  • Derivar parcialmente a função em relação a x e a y e igualar as duas expressões a zero;
  • Determinar a partir desse sistema de equações os pontos críticos e por fim
  • Classificar esse ponto! (através do hessiano, o famoso teste da derivada segunda!)

Mas calma, vou fazer com você! Vamos nessa?

Passo 2

A função é:

f x , y = 1 + x 3 y + 12 x 2 - 8 y

Agora a derivada em relação a x e igualar a zero:

f x = 3 x 2 y + 24 x = 0

3 x 2 y = - 24 x

x y = - 8

E a derivada em y e igualar a zero:

f y = x 3 - 8 = 0 ∴ x 3 = 8 ∴ x = 2

E agora voltando para y :

y = - 8 x = - 8 2 = - 4

Então temos apenas um ponto crítico:

( 2 , - 4 )

O que é um bom sinal, porque o enunciado diz que essa função tem um único ponto de sela!

A ideia agora é fazer o teste da derivada segunda e classificar esse ponto!

Passo 3

O teste da derivada segunda é achar o sinal do hessiano nesse ponto. O hessiano é:

D = f x x f y y - f x y 2

E se D < 0 é sela!

Então vamos calcular as derivadas segundas:

Primeiro em x :

f x = 3 x 2 y + 24 x

f x x = 6 x y + 24

E em y :

f y = x 3 - 8

f y y = 0

Agora a mista:

f x y = 3 x 2 = f y x

Agora é montar a função D :

D = 6 x y + 24 . 0 - 3 x 2 2 = - 9 x 4

E agora aplicar no ponto que encontramos ( 2 , - 4 ) :

D 2 , - 4 = - 9 2 4 = - 144 < 0

D < 0 Significa ponto de sela!

Então a resposta é ( 2 , - 4 ) .

Resposta

( 2 , - 4 )

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