UFSCAR – Cálculo 2 – Banco de Questões – Questão 25
Seja a função definida por
O ponto ______ é o único ponto de sela de .
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas relaxa! Vamos resolver juntos?
O enunciado deu uma função, e perguntou qual ponto é de sela, isso só tem um cheiro: de máximos e mínimos!
Como relembrar é viver, para achar esse ponto precisamos:
- Derivar parcialmente a função em relação a e a e igualar as duas expressões a zero;
- Determinar a partir desse sistema de equações os pontos críticos e por fim
- Classificar esse ponto! (através do hessiano, o famoso teste da derivada segunda!)
Mas calma, vou fazer com você! Vamos nessa?
Passo 2
A função é:
Agora a derivada em relação a e igualar a zero:
E a derivada em e igualar a zero:
E agora voltando para :
Então temos apenas um ponto crítico:
O que é um bom sinal, porque o enunciado diz que essa função tem um único ponto de sela!
A ideia agora é fazer o teste da derivada segunda e classificar esse ponto!
Passo 3
O teste da derivada segunda é achar o sinal do hessiano nesse ponto. O hessiano é:
E se é sela!
Então vamos calcular as derivadas segundas:
Primeiro em :
E em :
Agora a mista:
Agora é montar a função :
E agora aplicar no ponto que encontramos :
Então a resposta é .