UFSCAR – Cálculo 2 – Banco de Questões – Questão 32
A temperatura em um ponto é dada por onde é medido em Celsius e em metros. Direção e sentido de mais crescimento no ponto é:
Passo 1
Oi, tudo bem? Parece complicado né? Vamos resolver juntos?
O enunciado deu uma função temperatura e pediu a direção e o sentido do maior crescimento. Fazendo uma analogia com funções vetoriais, precisamos lembrar que o vetor gradiente de uma função é o vetor que aponta na direção de maior variação da função num dado ponto. Então é exatamente isso que queremos! Na real o problema pede o vetor gradiente dessa função aí! E no ponto dado!
Lembrem-se: o problema deu uma função e pediu a direção do maior crescimento - gradiente!
Então precisamos achar o vetor gradiente e aplicar no ponto dado!
Sacou?
Mas calma que vou fazer passo a passo!
Vamos nessa?
Passo 2
A expressão dada foi:
O gradiente é um operador que nos dá um vetor e ele é a derivada parcial da função dada, assim oh:
E aplicando em , vamos ter que cada componente vai ser a derivada parcial de cada variável:
Agora o gradiente de é:
Beleza?
Agora precisamos aplicar no ponto P. Assim vamos saber a maior variação nesse ponto.
Passo 3
Agora vamos aplicar no ponto dado. Primeiro essa exponencial:
E agora o gradiente:
Em :
Então, esse é o vetor gradiente nesse ponto. Ele é quem nos diz (quando normalizado) a direção e o sentido da maior variação.
Beleza até aqui?
O próximo passo é encontrar a normalização (essa é a maior taxa, mas aqui não foi pedido) e depois dividir pelo vetor pra achar a direção e sentido.
Passo 4
Começando pela normalização:
Passo 5
E agora dividindo o vetor pela normalização pra achar o vetor unitário :
Vou dividir em cima e embaixo por :
Então temos que a direção e o sentido do gradiente é na mesma direção de
, a menos de um fator , mas a direção e o sentido são os mesmos!
Sendo assim, a alternativa correta é (a).
Beleza?
Espero ter ajudado!