Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Ver Teoria
Exercício 661234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

UFSCAR – Cálculo 2 – Banco de Questões – Questão 12

A equação do plano tangente ao gráfico da função f ( x ,   y )   = x y + y ² no ponto P ( 1,1 , 2 ) é:

  1. 3 x + 3 y - 3 z = 6
  2. 3 x + 9 y - 3 z = 6
  3. x + 3 y + 3 z = 2
  4. x - 3 y + z = 2

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

Para calcular o plano tangente precisamos de:

- um ponto do plano P

- um vetor normal ao plano (aqui será o gradiente aplicado no ponto dado!) n ^ = ∇ → F ( P )

- e aplicar isso tudo na equação do plano tangente:

x - x 0 ; y - y 0 , z - z 0 ⋅ n ^ = 0

Vamos nessa?

Passo 2

x , y , z é F x , y , z = z - f ( x , y ) . O gradiente dessa função F x , y , z = z - x y - y ²   é:

é:

∇ → F = ∂ ∂ x z - x y - y ² i ^ + ∂ ∂ y z - x y - y ² j ^ + ∂ ∂ z z - x y - y ² k ^

∇ → F = ( - y , - x - 2 y , 1 )

E aplicado no ponto P ( 1,1 , 2 ) o gradiente fica:

∇ → F 1,1 , 2 = ( - 1 , - 3 , 1 )

Passo 3

Agora que temos o vetor normal e o ponto, é só jogar na equação do plano:

x - 1 ,   y - 1 , z - 2 ⋅ - 1 , - 3,1 = 0

- x + 1 - 3 y + 3 + z - 2 = 0

x + 3 y - z = 2

E multiplicando tudo por 3 temos a resposta das alternativas:

3 x + 9 y - 3 z = 6

Qualquer múltiplo desse plano será solução também! Fique tranquilo! Aqui há mais de uma resposta certa! Só tem que tomar cuidado com os sinais e as proporções!

Esse é o plano tangente! Alternativa correta é (b).

Espero ter te ajudado!

Até a próxima!

Resposta

3 x + 9 y - 3 z = 6

Exercícios de Livros Relacionados

Existem pontos no hiperboloide x 2 - y 2 - z 2 = 1 nos quais o plano tangente é paralelo ao plano z = x + y ?
Em qual ponto do paraboloide y = x 2 + z 2 o plano tangente é paralelo ao plano x + 2 y + 3 z = 1 ?
Mostre que a equação do plano tangente a elipsoide x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 pode ser escrita como x x 0 a 2 + y y 0 b 2 + z z 0 c 2 = 1
57 - Mostre que todo plano que é tangente ao cone z 2 = x 2 + y 2 passa pela origem.
Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.3 – z = x y ,( 1,1 , 1 )