A equação do plano tangente ao gráfico da função f(x, y) = xy + y² no ponto P(1, 1, 2) é:

  1. 3x + 3y - 3z = 6
  2. 3x + 9y - 3z = 6
  3. x + 3y + 3z = 2
  4. x - 3y + z = 2

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

Para calcular o plano tangente precisamos de:

- um ponto do plano P

- um vetor normal ao plano (aqui será o gradiente aplicado no ponto dado!) n ^ = ∇ → F ( P )

- e aplicar isso tudo na equação do plano tangente:

x - x 0 ; y - y 0 , z - z 0 ⋅ n ^ = 0

Vamos nessa?

Passo 2

x , y , z é F x , y , z = z - f ( x , y ) . O gradiente dessa função F x , y , z = z - x y - y ²   é:

é:

∇ → F = ∂ ∂ x z - x y - y ² i ^ + ∂ ∂ y z - x y - y ² j ^ + ∂ ∂ z z - x y - y ² k ^

∇ → F = ( - y , - x - 2 y , 1 )

E aplicado no ponto P ( 1,1 , 2 ) o gradiente fica:

∇ → F 1,1 , 2 = ( - 1 , - 3 , 1 )

Passo 3

Agora que temos o vetor normal e o ponto, é só jogar na equação do plano:

x - 1 ,   y - 1 , z - 2 ⋅ - 1 , - 3,1 = 0

- x + 1 - 3 y + 3 + z - 2 = 0

x + 3 y - z = 2

E multiplicando tudo por 3 temos a resposta das alternativas:

3 x + 9 y - 3 z = 6

Qualquer múltiplo desse plano será solução também! Fique tranquilo! Aqui há mais de uma resposta certa! Só tem que tomar cuidado com os sinais e as proporções!

Esse é o plano tangente! Alternativa correta é (b).

Espero ter te ajudado!

Até a próxima!

Resposta

3 x + 9 y - 3 z = 6

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