UFSCAR – Cálculo 2 – Banco de Questões – Questão 39
A profundidade de um lago em um ponto com coordenadas é dada por com em metros. Um barco parte do ponto em direção a uma boia no ponto
A água sob o barco está ficando mais .... , pois a derivada direcional de em em direção à boia é ..... de aproximadamente ....
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem?
O enunciado deu uma função , disse que ele parte de um ponto e vai em direção a outro. E aí ele pede a derivada direcional!
Então a ideia aqui é: achar o vetor (tem que ser unitário!) que dá a direção que o problema pede a taxa de variação da água e verificar se nesse ponto a água tá aumentando (derivada direcional positiva), diminuindo (derivada direcional negativa) ou se a água está estacionada (derivada direcional nula).
Como relembrar é viver: a derivada direcional de alguma função na direção de é:
Mas calma que vou fazer passo a passo!
Vamos nessa?
Passo 2
Começando pelo vetor que vai dar a direção da nossa derivada. O ponto inicial é e o ponto final é então o vetor é:
Mas lembrando que ele precisa estar normalizado. Então vamos calcular a norma desse vetor e dividir as coordenadas:
E daí o vetor normal é:
Beleza?
Passo 3
Agora vamos calcular o gradiente da função e depois aplicar no ponto :
E agora aplicando no ponto:
Tranquilo?
Passo 4
Com os dois vetores, podemos fazer o produto escalar entre eles! Essa vai ser nossa derivada direcional no ponto dado:
Isso mesmo! A derivada direcional deu zero! Isso significa que o nível de água está constante nessa direção! Nem aumentando, nem diminuindo!
Então as respostas que completam a frase são: nula, zero.
Beleza?
Espero ter ajudado!