UFSCAR – Cálculo 2 – Banco de Questões – Questão 17
Supondo que em alguma era passada ou futura a temperatura em cada ponto da superfície da Terra seja dada por . Considerando a Terra como uma esfera perfeita de raio , escolha a resposta completa:
- Como , não há como concluir o exercício
- A temperatura máxima ocorre em pontos distintos da Terra
- Existem infinitos pontos da Terra onde a temperatura é mínima, valendo graus
- A temperatura mínima ocorre em quatro pontos distintos da Terra
- A temperatura máxima é de graus.
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?
O enunciado deu uma função (temperatura ), deu uma restrição (esfera de raio tal) e isso só tem um cheiro: de multiplicadores de Lagrange!
Como relembrar é viver, esse teorema nos diz que:
Então a ideia aqui é:
- escrever a equação de uma esfera de raio
- construir a função : trazendo tudo para o mesmo lado e igualar a zero;
- fazer o gradiente da restrição e da função temperatura
- substituir no teorema e achar os pontos candidatos!
Mas relaxa que vou fazer com você! E aos poucos vamos vendo em qual alternativa as nossas conclusões se encaixam!
Vamos nessa?
Passo 2
A função temperatura:
E a restrição:
E a função :
O operador gradiente é:
Agora o :
E o gradiente de :
E substituindo na equação do teorema temos um sistema:
Igualando as componentes dos dois vetores:
E mais a restrição: .
Temos quatro equações com quatro incógnitas.
Agora vamos aos poucos descobrindo os pontos!
Passo 3
Da equação (1):
Da equação (2), usando o que achamos temos:
E da terceira equação:
Então temos e em função de , podemos substituir na restrição:
E daí o é e é .
Passo 4
Pessoal, aplicando no teorema achamos o seguinte resultado:
Agora vamos recapitular nossas alternativas:
- Como , não há como concluir o exercício
- A temperatura máxima ocorre em pontos distintos da Terra
- Existem infinitos pontos da Terra onde a temperatura é mínima, valendo graus
- A temperatura mínima ocorre em quatro pontos distintos da Terra
- A temperatura máxima é de graus.
Já podemos eliminas as alternativas:
1 – porque ;
3 – existem finitos pontos, então essa agente elimina também;
Agora vamos as outras alternativas!
A temperatura da terra vai ser em quantos pontos críticos? Vamos ver as combinações de sinais:
Temos:
- Duas opções com sinais iguais;
- Três opções com 2 + e 1 -;
- Três opões com 2 – e 1+ .
Sendo assim temos 8 pontos distintos! Alternativa correta 2!
Assim eliminamos também a alternativa 4.
E pra fechar com chave de ouro, a temperatura em um desses pontos (vou testar só com um ponto, os outros darão o mesmo valor, testa aí!) é:
O que deixa a alternativa 5 também errada!
Beleza? Espero ter ajudado!