UFSCAR – Cálculo 2 – Banco de Questões – Questão 19
Dada a função , determine seus valores máximo e mínimo restritos a .
O valor máximo é:
E o valor mínimo é:
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?
O enunciado deu uma função , deu uma restrição (círculo de raio ) e isso só tem um cheiro: de multiplicadores de Lagrange!
Como relembrar é viver, esse teorema nos diz que:
Então a ideia aqui é escrever a equação do círculo, construir a função – trazendo tudo para o mesmo lado e igualar a zero; fazer o gradiente da restrição e da função dada, e substituir ali em cima!
Mas relaxa que vou fazer com você! E aos poucos vamos vendo em qual alternativa as nossas conclusões se encaixam!
Vamos nessa?
Passo 2
A função a ser examinada é:
E seu gradiente é:
E a restrição:
E a função restrição:
E seu gradiente:
E agora substituir no teorema:
E formamos um sistema:
E a terceira equação é a restrição: .
Esse sistema tem três equações e três incógnitas. Por enquanto ta de boas!
O próximo passo é descobrir os pontos que satisfazem essas equações!
Passo 3
Da equação (1):
E da (2):
Então podemos igualar esses :
Daqui tiramos que:
E para achar efetivamente uma coordenada, vamos substituir esse na restrição (3):
E daí o valor de :
Assim os pontos são:
E
Esses são os candidatos a máximo e mínimo! Agora precisamos testar!
Passo 4
O próximo passo é testar esses pontos críticos na função e achar quem é maior ou menor!
Aí temos:
Belezinha?
Espero ter ajudado!