UFSCAR – Cálculo 2 – Banco de Questões – Questão 26
Os três números positivos suja soma é 12 e suja soma dos quadrados é a menor possível são:
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?
O enunciado pediu três números que a soma está amarrada pela soma e a soma dos quadrados é a MAIOR possível, isso só tem um cheiro: de multiplicadores de Lagrange com uma restrição!
Como relembrar é viver, esse teorema nos diz que:
Aqui a função é a soma dos quadrados:
E é a restrição da soma que tem que ser :
A ideia é calcular o gradiente dessas duas funções, colocar na equação dos multiplicadores. Depois disso, tentar eliminar o maior número de variáveis e substituir na restrição (da soma ).
Mas relaxa, vou fazer passo a passo!
Vamos nessa?
Passo 2
A função soma:
E o gradiente:
E a restrição:
E o seu gradiente:
Agora vamos substituir na equação dos multiplicadores:
Daqui saem três equações:
E daqui tiramos uma conclusão interessante:
E substituindo na restrição temos o seguinte:
E daí os outros números são:
E o 
único ponto que achamos é:
Passo 3
Agora precisamos analisar se é ponto de mínimo!
Vamos para o teste da derivada segunda:
A função soma deve estar em termos apenas de e . Mas temos a restrição que vai nos ajudar nisso!
A função soma:
E a restrição:
E agora vamos substituir em :
Beleza?
Agora as derivadas parciais. Começando em :
E em :
E a mista:
Agora é só substituir em :
Como E o ponto é ponto de MÍNIMO.
Então as coordenadas do ponto onde satisfaz a restrição dada são:
Beleza?
Espero ter ajudado!