UFSCAR – Cálculo 2 – Banco de Questões – Questão 31
Denote por x, y, z três números positivos cuja soma é 100 e cujo produto é máximo. Assinale a alternativa correta:
- Os números são distintos dois a dois
- O produto máximo é
- Todas as demais alternativas estão erradas
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?
Sendo assim, podemos dizer que queremos o maior valor da função produto de três números , cuja soma desses números dê 100, isso é como se fosse uma restrição desses números. Pensa assim: se não tivéssemos essa restrição, não existiria maiores três números, pois seriam infinitos.
O teorema dos multiplicadores de Lagrange com uma restrição nos diz que os valores de máximos/mínimos de uma função são tais que satisfazem essa igualdade:
Ou seja, o gradiente da função é um múltiplo escalar do gradiente da restrição. No nosso caso a função é a função produto e a restrição é que a soma deles tem que ser 100 (.
Nossa função é:
E nossa restrição deve estar no formato , então na prática é só jogar tudo pro mesmo lado e igualar a zero:
Aqui a função é a soma dos quadrados:
E é a restrição da soma que tem que ser :
A ideia é calcular o gradiente dessas duas funções, colocar na equação dos multiplicadores. Depois disso, tentar eliminar o maior número de variáveis e substituir na restrição (da soma ).
Mas relaxa, vou fazer passo a passo!
Vamos nessa?
Passo 2
A função produto:
Lembrando que o gradiente de qualquer função é:
E o gradiente de :
E a restrição:
E o seu gradiente:
Agora vamos substituir na equação dos multiplicadores:
Daqui saem três equações:
De (1) e de (2):
Daí temos que:
E de (2) e (3):
Então temos que !
Beleza?
E substituindo na restrição temos o seguinte:
E daí os outros números são:
E o 
único ponto que achamos é:
Passo 3
Agora precisamos analisar se é ponto de máximo!
Vamos para o teste da derivada segunda:
Temos algumas possibilidades:
Então precisamos achar as derivadas, substituir no ponto do passo anterior e verificar os sinais.
A função produto deve estar em termos apenas de e . Mas temos a restrição que vai nos ajudar nisso!
A função:
E a restrição:
E agora vamos substituir em :
Beleza?
Agora as derivadas parciais. Começando em :
E em :
E a mista:
Agora é só substituir em :
E agora aplicar no ponto crítico que achamos :
E por fim o sinal de aplicado no ponto:
Como E o ponto é ponto de Máximo.
Beleza?
Passo 4
Agora vamos voltas as afirmativas:
Assinale a alternativa correta:
- Os números são distintos dois a dois
- O produto máximo é
- Todas as demais alternativas estão erradas
A letra correta é a (c). Achamos exatamente o ponto . E verificamos que ele é ponto de máximo.
O produto máximo é:
Belezinha?
Espero ter ajudado!