UFSCAR – Cálculo 2 – Banco de Questões – Questão 27

Seja a função definida por

Preencha os espaços vazios:

• é ponto de sela de .
• é ponto de máximo local de .

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O enunciado pediu um ponto de sela e um ponto de máximo local de . Bom, para determinar isso, precisamos achar o valor de . Lembra dele?

Se:

• : ponto de sela
• e é ponto de mínimo relativo e é máximo relativo.

Sendo assim, precisamos encontrar os pontos críticos (derivando parcialmente e igualando a zero, formando um sistema) e testar nas derivadas segundas.

Mas calma que vou fazer junto com você!

Vamos nessa?

Passo 2

f x , y = 5 + e y ( y 2 - x 2 )

Primeiro em e ela deve ser zero:

Aqui temos apenas uma solução, que é quando , pois a exponencial não zera.

E em :

Então temos que satisfazer essa equação:

Vou colocar em evidência :

Aqui temos um produto de dois fatores e e isso deve ser zero. Bom nunca pode ser zero, então o termo

Deve ser zero.

Daí temos uma equação com duas soluções:

Aqui temos que ou ou , então as soluções são:

Sendo assim temos dois pontos críticos:

e

Agora precisamos achar as derivadas parciais segundas e depois testar os pontos.

Passo 3

A derivada em :

E derivando de novo:

Agora a derivada em :

Derivando de novo:

E agora a derivada cruzada. Vou pegar a derivada primeira em :

E derivar em :

Agora vamos montar o :

Passo 4

Agora vamos aplicar nos pontos críticos. Primeiro para :

D(0,0):

Então o ponto é ponto de sela.

E agora para :

D(0,-2):

Então como , precisamos testar para saber se é mesmo ponto de máximo relativo.

A função é:

E aplicado em :

Assim, como e temos que o ponto é ponto de máximo relativo.

E completando os espaços vazios:

Preencha os espaços vazios:

• é ponto de sela de .
• é ponto de máximo local de .

Ufa! Terminamos!

Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

• é ponto de sela de .
• é ponto de máximo local de .

Resposta