UFSCAR – Cálculo 2 – Banco de Questões – Questão 35
Denote por P e Q os pontos do cone mais próximos do ponto .
Assinale a alternativa correta:
Passo 1
Oi, tudo bem? Vamos resolver juntos?
O enunciado deu uma restrição (equação do cone), pediu os pontos de MENOR distância, isso só tem um cheiro: de multiplicadores de Lagrange!
A função a ser minimizada é a função distância (que pode ser o quadrado dela, fica mais fácil!):
E queremos até o ponto ! Então ela fica assim:
E a restrição: o cone
Que pode ser escrita assim:
Como relembrar é viver, esse teorema nos diz que:
A ideia aqui é calcular os gradientes, substituir na equação ali em cima e resolver o sistema!
Mas vamos fazer os poucos, beleza?
Vamos nessa?
Passo 2
A função a ser minimizada é:
E o gradiente é:
E agora a restrição:
E o gradiente:
E agora substituindo esses vetores na relação dos multiplicadores temos:
E aqui tiramos três equações:
E mais a equação de restrição:
Passo 3
Agora vamos tentar resolver para achar quais são os pontos que satisfazem essas equações.
De (3):
E daí de (1):
E de (2):
E por fim de (4):
Então os pontos são:
Passo 4
E para achar a distância é só substituir em :
Com
Assim a resposta correta é a alternativa (a).