UFSCAR – Cálculo 2 – Banco de Questões – Questão 34
Seja . Suponha que . Determine o valor de
Escolha uma opção:
- 4
- 0
- -1
- 8
- e
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?
Temos uma função g que tem 3 componentes e cada uma delas está escrita em termos do parâmetro t.
Sendo assim, podemos admitir que f está em função de x,y e z e que essas três variáveis estejam por sua vez em termos de t.
O que o problema pede é a derivada de g em um ponto. Então aqui vamos utilizar a regra da cadeia quando temos 1 parâmetro.
Eu pensei em usar isso pois queremos a derivada de uma função no qual as variáveis dentro dela estão em função e um parâmetro. Beleza?
Passo 2
Passo 3
Nossa função é:
Então , e .
Beleza?
Então, pelo caso I da Regra da cadeia (caso 1 é com 1 parâmetro), sabemos que:
E depois aplicamos no ponto dado, que no nosso caso é .
Passo 4
Agora vamos calcular as derivadas:
E a derivada de x aplicada em
Agora o :
E a derivada de aplicada em
E agora o :
E a derivada de aplicada em
Como não conhecemos a função , não conseguimos achar as derivadas dela em relação a x e a y, mas temos que . Mas você sabe que ponto é esse?
Vamos fazer nas funções de x,y, z:
Opa! É justamente o ponto que temos quando substituímos nas expressões. E é nesse ponto que o problema pede que calculemos a derivada de , então tá tudo bem!
Passo 5
Embora não saibamos e , a gente ainda pode calcular a derivada de . Saca só lá da regra da cadeia:
A gente não multiplica por aplicado no ponto? Como é zero, esse termo todo vai zerar! A mesma coisa acontece com o termo . ele zera porque . Aí só sobra o termo com a derivada em , e pra esse temos quanto vale a parcial de .
Substituindo na regra da cadeia temos:
Sabendo que , então agora é só substituir:
Então a alternativa correta é a (d)