O gráfico da função f ( x ,   y )   =   x ² - y ² não admite plano tangente no ponto ( 0 ,   0 ,   0 ) .

Escolha uma opção:

  1. Verdadeiro
  2. Falso

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

Para calcular o plano tangente precisamos de:

- um ponto do plano P

- um vetor normal ao plano (aqui será o gradiente aplicado no ponto dado!) n ^ = ∇ → f ( P )

- e aplicar isso tudo na equação do plano tangente:

x - x 0 ; y - y 0 , z - z 0 ⋅ n ^ = 0

Vamos nessa?

Passo 2

O gradiente dessa função f x ,   y =   x 2 - y 2 ; F x , y , z = z - x 2 + y 2 é:

∇ → F = ∂ ∂ x z - x 2 + y 2 i ^ + ∂ ∂ y z - x 2 + y 2 j ^ + ∂ ∂ z z - x 2 + y 2 k ^

∇ → F = ( - 2 x , 2 y , 1 )

E aplicado no ponto P ( 0,0 , 0 ) o gradiente fica:

∇ → F 0,0 , 0 = ( 0,0 , 1 )

Passo 3

Agora que temos o vetor normal e o ponto, é só jogar na equação do plano:

x - 0 ,   y - 0 , z - 0 ⋅ 0,0 , 1 = 0

z = 0

Esse é o plano tangente! Ele existe sim, é zero, mas existe! Então é falso.

Resposta

f a l s o

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