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Exercícios Resolvidos de Plano Inclinado

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Enunciado

UnB – Física 1 – Listas – Lista de Exercícios Física 1 UnB – Lista 6 – Aplicações das Leis de Newton – 9a

Um plano inclinado de massa M repousa em uma mesa horizontal sem atrito. Um bloco de massa m é colocado sobre esse plano (figura abaixo). Não existe atrito entre o bloco e o plano. O sistema é liberado do repouso.

(a) Calcule a aceleração do plano e as componentes horizontal e vertical de aceleração do bloco.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Olha.. vamos primeiramente fazer um diagrama do corpo livre do bloco e da rampa e aí a gente aplica a 2ª Lei de Newton para podermos entender melhor essa questão, certinho? Se liga:

  • Para a rampa:

    • No eixo y , temos que:

    P r a m p a + F y = F N ' ∴

    F N = M g + F N cos ⁡ α

    No eixo x , temos:

    F r e s u l t a n t e = - F x ∴

    M ∙ a r a m p a = - F N   s e n   α

  • Para o bloco:

No eixo y , temos:

F r e s u l t a n t e y = F N cos ⁡ α - P b l o c o ∴

m ∙ a b l o c o y = F N cos ⁡ α - m g

E, no eixo x , temos:

F r e s u l t a n t e x = F N   s e n   α ∴

m ∙ a b l o c o x = F N   s e n   α

Passo 2

Assim, considerando também que os blocos se manterão juntos, temos as seguintes relações entre as acelerações:

Em que desse triângulo podemos extrair:

tan ⁡ α = - a y a x - a r a m p a ∴

a y = - a x - a r a m p a ∙ tan ⁡ α

Passo 3

Assim, com esses dados, temos as seguintes equações:

  1. M ∙ a r a m p a = - F N   s e n   α
  2. m ∙ a y = F N cos ⁡ α - m g ∴ m ∙ - a x - a r a m p a ∙ tan ⁡ α = F N cos ⁡ α - m g  
  3. m ∙ a x = F N   s e n   α ∴ F N = m ∙ a x s e n   α

Passo 4

Assim, substituindo (3) em (2), temos:

m ∙ - a x - a r a m p a ∙ tan ⁡ α = m ∙ a x s e n   α - m g ∴  

- a x - a r a m p a s e n   α cos ⁡ α = a x cos ⁡ α s e n   α - g s e n   α ∙ cos ⁡ α ∴

- a x - a r a m p a s e n 2 α = a x cos 2 ⁡ α - g   s e n   α ∙ cos ⁡ α

E, substituindo (1) em (3):

M ∙ a r a m p a = - m ∙ a x ∴

a x = - M m a r a m p a

Passo 5

Dessa forma, substituindo essas duas equações que encontramos no Passo 4 e simplificando, temos:

- - M m a r a m p a - a r a m p a s e n 2 α = - M m a r a m p a cos 2 ⁡ α - g   s e n   α ∙ cos ⁡ α ∴

a r a m p a = - m g   s e n   α cos ⁡ α M + m   s e n 2 α

Assim, substituindo na expressão de a x , temos:

a x = M g   s e n   α cos ⁡ α M + m   s e n 2 α

E, também substituindo na expressão de a y , temos:

a y = - ( M + m ) g   s e n 2 α M + m   s e n 2 α

Entendeu direitinho? Responde aeee!!

Resposta

a x = M g   s e n   α cos ⁡ α M + m   s e n 2 α

a y = - ( M + m ) g   s e n 2 α M + m   s e n 2 α

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