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Exercícios Resolvidos de Relacionando Núcleo com Espaço Coluna

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Enunciado

Relacionando Núcleo com espaço coluna

Assinale a alternativa FALSA:

a   Seja A uma matriz 8 × 10 e o núcleo de A um espaço de dimensão 2 . O sistema A x = b pode não ter solução.

b   Se A x = b sempre tem pelo menos uma solução então a única solução de A T x = 0 → é x = 0 → .

c   Seja A uma matriz 10 × 8 e o núcleo de A um espaço de dimensão 2 . O sistema A x = b pode não ter solução.

d   Se A e A T tem o mesmo núcleo então a matriz A é quadrada.

Passo 1

Vamos analisar letra por letra então galera.

Primeiro letra a :

Se A é uma matriz 8 × 10 ela leva vetores do R 10 em vetores do R 8 correto? Também sabemos que dim ⁡ N u c A = 2 . Logo, pelo Teorema do Núcleo Imagem, temos:

dim ⁡ N u c A ⏟ 2 + dim ⁡ I m A = dim ⁡ D o m A ⏟ 10

dim ⁡ I m A = 8

Opa, a dimensão da imagem é igual à dimensão do contra-domínio! Ou seja, todos os vetores do contra-domínio estão na imagem de A , logo ela sempre terá solução! Então essa é a falsa! Mas vamos continuar vendo porque as outras são verdadeiras.

Passo 2

Letra b

O enunciado diz que o sistema A x = b tem pelo menos uma solução. Isso quer dizer que o número de icógnitas (número de colunas da matriz) deve ser maior ou igual ao número de equações (linhas da matriz). Logo, temos uma matriz m × n , tal que n ≥ m .

Além disso, precisamos que a matriz seja sobrejetiva. Dessa forma, a dimensão da sua imagem deve ser igual à dimensão de seu contra-domínio. Logo, dim ⁡ I m A = m .

Também sabemos que a dim ⁡ I m A = dim ⁡ I m A T = m . Então, temos que dim ⁡ I m A T = m . Mas repare que A T é uma matriz n × m . Então seu domínio passou a ser o R m . Dessa forma, pelo teorema do núcleo imagem, temos:

dim ⁡ I m A T ⏟ m + dim ⁡ N u c A T = dim ⁡ D o m A T ⏟ m

dim ⁡ N u c A T = 0

Como o núcleo tem dimensão zero, de fato a única solução de A T x = 0 → é x = 0 → . Verdadeira.

Passo 3

c   Se A é uma matriz 10 × 8 ela leva vetores do R 8 em vetores no R 10 . Também é dito que dim ⁡ N u c A = 2 . Pelo teorema do núcleo imagem temos:

dim ⁡ N u c A ⏟ 2 + dim ⁡ I m A = dim ⁡ D o m A ⏟ 8

dim ⁡ I m A = 6

Bom, a imagem de A cobre apenas 6 das 10 dimensões do contra domínio. Então absta escolhermos um vetor b que esteja fora dessas 6 dimensões da imagem de A que o sistema não terá solução. Alternativa verdadeira.

Passo 4

d   Vamos usar a mesma propriedade que usamos na letra b . Sabemos que dim ⁡ I m A = dim ⁡ I m A T .

Seja a matriz A m × n , a matriz A T será n × m . Logo, pelo teorema do núcleo imagem teremos:

dim ⁡ I m A + dim ⁡ N u c A = dim ⁡ D o m A ⏟ n ⇒ dim ⁡ I m A = n - dim ⁡ N u c A

dim ⁡ I m A T + dim ⁡ N u c A T = dim ⁡ D o m A T ⏟ m ⇒ dim ⁡ I m A T = m - dim ⁡ N u c A T

Beleza, mas como a dimensão das imagens é a mesma, temos:

n - dim ⁡ N u c A = m - dim ⁡ N u c A T

E como o enunciado pede que A e A T tenham o mesmo núcleo, eles com certeza têm que ter a mesma dimensão. Então a equação fica:

n = m

Ou seja, a matriz tem que ser quadrada. Verdadeira.

Resposta

Letra a