Teorema do Núcleo e da Imagem
Seja uma matriz , com . Assinale a afirmativa VERDADEIRA:
Se , então dimensão de
Se , então dimensão de
Se , então a dimensão de
Se , então dimensão de
Passo 1
Ao bater o olho você já tem que perceber: trata-se de uma questão de Teorema do Núcleo-Imagem. Afinal, todas as alternativas falam de uma relação entre o núcleo e a imagem de uma matriz.
Aplicando o TNI:
Ou seja,
Agora vamos dar uma olhada nas alternativas.
Passo 2
Duas das quatro alternativas começam com a hipótese , então vamos começar por aí.
Se , então . Substituindo na equação ali de cima:
Já descartamos a letra que diz que é diferente de ;
Já descartamos a letra , que diz que é igual a .
Passo 3
Vamos avaliar agora a hipótese .
Se , então .
Assim, , pelo TNI.
Isso nos leva a concluir que .
Isso já nos garante que a resposta não é .
Só não usamos uma informação do enunciado, o fato que .
Mas se e , .
Como é menor que , não pode ser igual a .
A afirmativa correta é “se , então ”
Resposta
Letra