UFRJ, Álgebra Linear, P2 -2017.2, Questão 10
Seja , onde
Selecione a alternativa INCORRETA:
(a) Se é sobrejetiva, então é bijetiva
(b) Se então não é sobrejetiva
(c) Se é injetiva, então
(d) Se então é injetiva
Passo 1
Bom, meu primeiro passo vai ser calcular
Passo 2
Vamos lá, ser bijetiva é ser sobrejetiva e injetiva ao mesmo tempo. Então na letra a), ele ta dizendo que se a matriz é sobrejetiva, também vai ser injetiva.
Para ser injetiva, e para ser sobrejetiva, a imagem deve ser igual ao contradomínio que nesse caso é o , logo,
Opa, tamo falando de dimensão do núcleo, dimensão da imagem, o que isso lembra?? O TNI!
Vamos conferir ele então:
Queremos ver se a matriz for sobrejetiva, ou seja,, ela também vai ser injetiva,
Provadíssimo.
Passo 3
Vamos para a b) Se então não �� sobrejetiva, vamos substituir
Para ser sobrejetiva, a imagem deve ser igual ao contradomínio que nesse caso é o Assim, os vetores das colunas devem formar uma base de , para isso eles não podem ser múltiplos um do outro!
Mas a questão ta dizendo o contrário, ou seja, que nesse caso, a matriz não é sobrejetiva, assim, as colunas devem ser múltiplas uma da outra. Vamos ver o que acontece quando escolho os valores de
Se
Agora se
E
E isso vai sempre acontecer, ou seja, são sempre múltiplos e a alternativa é verdadeira.
Passo 4
Na letra c) ele diz que se é injetiva,
Vamos ver o que acontece quando
Se
Se
Se
Acontece o mesmo que aconteceu com Ou seja, nesse caso a matriz não vai ser sobrejetiva, pelo TNI, quando a matriz não é sobrejetiva, ela também não vai ser injetiva!
Nesses casos,
Assim, para ser injetiva é preciso que seja diferente de 6!
Passo 5
Por último, na letra d) ele ta falando que se a matriz vai ser injetiva. Vamos tentar achar um contraexemplo:
Como vimos, essa matriz não é sobrejetiva e portanto não vai ser injetiva, mesmo com !
Resposta
(d)