A1 T24
Suponha que a matriz e o vetor são tais que a solução geral de tem duas variáveis livres. Se podemos afirmar que:
A solução geral de pode ter apenas uma variável livre.
A solução geral de sempre tem duas variáveis livres.
pode não ter solução.
pode ter uma única solução.
Passo 1
Essa questão tem uma lógica meio obscura então presta bastante atenção para não se perder no caminho! Bom, sabemos que é uma matriz com linhas e colunas. E ele falou que a solução geral de tem duas variáveis livres! Bom, como é a solução geral de um sistema? Assim oh:
Onde é um vetor qualquer que resolva o sistema e é o conjunto de soluções do sistema homogêneo . É ele que nos interessa! Se temos duas variáveis livres então nosso sistema homogêneo tem dimensão concorda? A dimensão de um sistema homogêneo sempre corresponde ao número de variáveis livres. Bom, mas o que é a solução do sistema homogêneo? É o núcleo da matriz certo!? Então chegamos a conclusão de que:
Analisando nossa matriz sabemos que como ela é , ela leva vetores do em vetores do . Ou seja, seu domínio é o e seu contradomínio é o . Agora aplicando o temos:
Passo 2
No passo anterior chegamos à conclusão de que a dimensão da imagem da nossa matriz é . E o que isso quer dizer? Bom, repare que a dimensão do contradomínio é também! Como a dimensão da imagem é igual à do contradomínio temos que a matriz é sobrejetiva! E o que isso nos diz? Diz que ela sempre tem solução! Isso elimina a letra .
Também vimos que a dimensão do núcleo é . Isso quer dizer que a matriz não é injetiva e, portanto, o sistema nunca possui solução única. Isso elimina a .
Passo 3
Ufa, a parte mais difícil passou. Agora vamos voltar um pouco lá pra quando falamos da solução geral! As variáveis livres estão associadas ao que é a solução do sistema homogêneo . Isso quer dizer que não importa o do nosso sistema , o sempre permanecerá inalterado já que ele só depende da matriz .
Isso quer dizer que sempre teremos sempre variáveis livres na solução geral desse sistema. O que muda será o que estamos somando.
Resposta
Letra