Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta.
Considere uma matriz elementar , uma matriz que ao multiplicar uma outra matriz , aplica uma operação elementar nela. Por exemplo, se você fizer , é como se tivesse trocado duas linhas de lugar, por exemplo.
- O espaço gerado de é o espaço coluna da matriz cujos vetores coluna são
- O espaço coluna de uma matriz é o conjunto solução de
- O conjunto de vetores linha não nulos de uma matriz é uma base do espaço linha de .
- Se for uma matriz elementar e uma matriz , então o espaço nulo de é igual ao espaço nulo de
- Se for uma matriz elementar e uma matriz , então o espaço linha de é igual ao espaço linha de
- Se for uma matriz elementar e uma matriz , então o espaço coluna de é igual ao espaço coluna de
Passo 1
Letra a)
O espaço coluna de uma matriz que possui os vetores coluna e exatamente o espaço gerado desses vetores, por definição. Verdadeira
Letra b)
Falso. Além de sabermos a definição de espaço coluna e vermos que é diferente, vamos pegar um exemplo:
Se o espaço coluna fosse esse conjunto solução, os vetores teriam duas coordenadas apenas, enquanto sabemos que ele é o espaço gerado dos vetores coluna da matriz, que possuem coordendas. O que seria um absurdo! Além disso, sabemos que o sistema tem solução quando pertence ao espaço gerado das colunas da matriz, ou seja, o espaço coluna e assim seria de novo uma incoerência, pois que possui coordeandas iria pertencer a um espaço gerado de vetores com coordenadas!
Passo 2
Letra c)
Vamos pegar por exemplo uma mátria aleatória.
Se seguirmos o enunciado uma base para o espaço linha seria:
O que é mentira pois temos dois vetores múltiplos. Logo a afirmativa é falsa. O correto seria falar que o conjunto dos vetores linha não nulos da matriz , APÓS SER ESCALONADA, pois já teria sido eliminado os vetores que eram dos demais.
Letra d)
O espaço nulo é a solução do sistema . Logo como matrizes equivalentes, ou seja após serem escalonadas, possuem a mesma solução de um sistema então o espaço nulo de é igual ao de . Verdadeiro.
Passo 3
Letra e)
Para achar uma base para o espaço linha devemos aplicar várias operações elementares na matriz e assim os vetores resultantes formam a nossa base. Entretanto, se soubéssemos antes quais vetores eram dos demais já poderíamos ter descoberto a base. Logo, após uma operação elementar a matriz continua tendo o mesmo espaço linha da matriz original.
Exemplo:
Forma escalonada:
O espaço linha seria:
Mas poderíamos ter descoberto antes, pois já sabíamos que o vetor era descartável e poderíamos ter escolhido a base:
Já que:
Verdadeira
Passo 4
Letra f)
Vamos usar o exemplo anterior:
Após uma operação elementar:
Espaço coluna de :
Espaço coluna de :
Como podemos ver os espaços gerados são diferentes e portanto os espaços colunas também logo a afirmativa é falsa. Lembre que para achar uma base para o ESPAÇO COLUNA deve-se escalonar .
Resposta
V, F, F, V, V, F