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Exercícios Resolvidos de Relacionando Núcleo com Espaço Coluna

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Enunciado

A1 T24

Seja A uma matriz n × n . p o s t o A é a dimensão da imagem de A . Considere as afirmativas:

  1. A x → = 0 → se e somente se A T A x → = 0 →
  2. p o s t o A = p o s t o A T A

a   A afirmativa I é verdadeira e a I I é falsa

b   A afirmativa I é falsa e a I I é falsa

c   A afirmativa I é verdadeira e a I I é verdadeira

d A afirmativa I é falsa e a I I é verdadeira

Passo 1

Afirmativa I :

Matematicamente, “se e somente se” é escrito assim:

A x = 0 ⟺ A T A x = 0

Ou seja, se A x = 0 então A T A x = 0 e se A T A x = 0 então A x = 0 . A primeira parte é fácil de provar:

A x = 0 ⇒ A T A x = 0

A T A x = A T 0 = 0

E a segunda?

A T A x = 0 ⇒ A x = 0

Bom, se A T A x = 0 então:

x T A T A x = x T 0 = 0

x T A T A x = 0

x T A T A x = 0

A x T A x = 0

Definimos o vetor A x = x 1 x 2 ⋮ x n , então:

A x T A x = x 1 x 2 ⋯ x n x 1 x 2 ⋮ x n = x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 = 0 ⇒ x 1 = x 2 = … = x n = 0

Logo, chegamos a conclusão que A x = 0 , então essa afirmativa é verdadeira.

Passo 2

Afirmativa I I :

Se A é n × n , então A T A também é n × n . E usamos o que provamos no Passo 1 , se:

A x = 0 ⟺ A T A x = 0

Então todo vetor x que pertence ao núcleo de A pertence ao núcleo de A T A também e vice-versa. Logo, é seguro afimar que:

N u c A = N u c A T A

Se os núcleos são iguais, as dimensões deles naturalmente são iguais:

dim ⁡ N u c A = dim ⁡ N u c A T A

Como A e A T A tem o mesmo domínio, pelo T N I , temos que:

dim ⁡ I m A = dim ⁡ I m A T A

Então essa afirmativa é verdadeira.

Resposta

Letra ( c )