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Exercícios Resolvidos de Relacionando Núcleo com Espaço Coluna

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Enunciado

Seja A uma matriz 3 × 3 , e U = 1 0 2 0 3 1 0 0 6 sua forma escalonada. Marque a alternativa verdadeira:

  1. N u c A ≠ N u c U
  2. I m A = s p a n 1,0 , 0 , 0,3 , 0 , 2,1 , 6
  3. I m A T = s p a n { 3,0 , 6 , 0,6 , 2 , 0,0 , 1 }
  4. Nenhuma das alternativas acima.

Passo 1

Letra a)

Sabemos que U é a forma escalonada de A , logo A e U são equivalentes. Se as matrizes são equivalentes, então os sistemas A x = b e U x = b são equivalentes. Como o núcleo é a solução do sistema A x = 0 e esse é equivalente ao sistema U x = 0 , podemos dizer que os seus núcleos são iguais e portanto a letra a) é falsa.

Letra b)

Embora A e U sejam equivalentes, isso não implica que seus espaços colunas sejam iguais, que é o que está escrito. Portanto a letra b) é falsa.

Passo 2

Letra c)

Sabemos que a imagem da transposta de A é a mesma coisa que o espaço linha de A . Também sabemos que para achar uma base para o espaço linha basta escalonarmos a matriz, já que o que queremos achar é algum vetor que é uma combinação linear dos demais. Então a imagem da transposta é exatamente o espaço linha de U . Mas não esta escrito isso na letra c)!! Calma, vamos analisar calmamente. Podemos ver que os vetores geradores são múltiplos dos vetores do espaço linha de U

3,0 , 6 = 3 1,0 , 2 ; 0,6 , 2 = 2 0,3 , 1 ; 0,0 , 1 = 1 6 0,0 , 6

Portanto é a mesma coisa! E assim, podemos ver que a letra c) é verdadeira

Resposta

Letra c)