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Exercícios Resolvidos de Relacionando Núcleo com Espaço Coluna

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Enunciado

A1 T24

Considere a matriz A e sua forma totalmente escalonada:

A = 1 3 7 12 2 6 5 6 3 9 3 0 0 0 1 2 ~ 1 3 0 - 2 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0

Não podemos afirmar que:

a   1,3 , 0 , - 2 , 0,0 , 1,2 é base da imagem de A .

b   1,2 , 3,0 , 7,5 , 3,1 é base da imagem de A .

c dim ⁡ I m A = 2

( d ) dim ⁡ N A = 2

Passo 1

Letra a

Se liga, a imagem de A é o espaço gerado pelas colunas de A ! 1,3 , 0 , - 2 , 0,0 , 1,2 é o espaço gerado pelas linhas, então ele não é base da imagem de A ! Essa é a incorreta! Já achamos a certa mas vamos continuar com a análise, que as outras opções são bem interessantes haha.

Letra b

Lembra que a dimensão do espaço linha e espaço coluna de uma matriz são sempre iguais? Como o espaço linha é formado por dois vetores L I , como vimos na matriz escalonada, o espaço coluna também tem dimensão 2 !

Isso quer dizer que quaisquer dois vetores L I que a gente pegar das colunas de A vão ser uma base para a imagem de A ! No caso ele pegou as colunas 1,2 , 3,0 e 7,5 , 3,1 . Mas se ele tivesse pego por exemplo 1,2 , 3,0 , 12,6 , 0,2 ou 7,5 , 3,1 , 3,6 , 9,0 também teríamos bases para a imagem de A .

Letra c

Sim, como eu acabei de falar na letra b , a dimensão da imagem (espaço coluna) é igual a dimensão do espaço linha da matriz que é 2 .

Letra d

Essa saí pelo T N I . Sabemos que o domínio da matriz é o R 4 . Então ficamos com:

dim ⁡ I m A + dim ⁡ N A = dim ⁡ D o m A

2 + dim ⁡ N A = 4

dim ⁡ N A = 2

Resposta

Letra ( a )