Seja uma matriz cujo núcleo é e cuja imagem é . Se a entrada da matriz é igual a , antão é:
a) -2
b) -3
c) -4
d) -6
e) Não sei.
Passo 1
Antes de tudo, o exercício deu pra gente o conjunto que forma o núcleo da nossa matriz. Sabemos que o núcleo sempre nos leva pro 0 não é? Então, temos:
Ta, mas e a imagem?? Nesse caso, de acordo com a definição de imagem, teremos
Onde é perpendicular ao nosso núcleo.
Se é perpendicular ao núcleo, para encontrarmos ele, temos que:
Logo, fazendo esse produto vetorial, encontramos:
Portanto:
Beleza, agora que temos algumas informações, vamos seguir em frente hihi
Passo 2
A regra é a seguinte: se fizermos a combinação linear de 3 vetores conhecidos (podemos usar os do núcleo e o perpendicular que encontramos), e igualarmos isso a , encontramos a primeira coluna da matriz , por quê? Porque em estamos excluindo tudo aquilo que não ta na primeira coluna.
Se igualarmos a , encontramos a segunda.
Se igualarmos a , encontramos a terceira, sacou? Hahaha
Como temos em jogo somente as entradas e , só vamos trabalhar com a segunda e a terceira coluna ta ok?
Começando com a segunda coluna, vamos fazer a tal da combinação linear e igualar a :
Essa equação nos dá o sistema:
Entãoo, a segunda coluna da matriz é :P
Passo 3
Agora vamos pra terceira coluna!! Igualando a combinação linear a :
Essa equação nos dá o sistema:
Resolvendo esse sistema, encontramos , e .
Entãoo, a terceira coluna da matriz é :P
Passo 4
O que sabemos sobre a matriz ? Como a primeira coluna não nos interessa, podemos escrever ela assim:
Agora vamos voltar láá no enunciado: ele fala que a entrada da matriz é igual a .
Qual a entrada de nessa matriz aí que escrevemos? É o número que ta na primeira linha e segunda coluna né? Então é !!
Ta, mas o enunciado fala que esse valor é 6!! E não !
Aí que ta parça, nós vamos dar um jeito de transformar em . Isso vai acontecer se multiplicarmos nossa matriz por 12, concorda? Vamos ficar assim:
Agora sim a nossa matriz ta bonitinha, porque a entrada realmente ta igual a 6 hahaha mas e a nossa entrada , que é o que queremos saber??
É o número que ta na terceira linha e terceira coluna não é? Então é o uhuuu
Resposta
c) -4