Seja uma matriz cujo núcleo tem dimensão . Pode-se afirmar que:

A imagem de tem dimensão .

tem infinitas soluções para todo .

é a única solução de .

As linhas de são linearmente dependentes.

Já sabe o que fazer né? haha. Se a matriz é então é . Logo, pelo :

Isso já elimina a que fala que a dimensão da imagem é .

A na verdade está falando que é injetora, o que não é verdade já que a dimensão do núcleo é maior que .

E a diz que as linhas de são linearmente dependentes. Mas lembre-se do seguinte, a dimensão do espaço coluna de uma matriz será sempre a mesma da dimensão do espaço linha!! E sabemos que o espaço coluna é a imagem certo? Que no caso tem dimensão .

Isso quer dizer que o espaço linha da matriz tem dimensão . E como nossa matriz tem linhas, para gerar um espaço de dimensão elas devem ser todas . Com isso eliminamos a .

Dessa forma, a resposta tem que ser a . De fato, se pensarmos na matriz como um sistema teríamos equações e variáveis. Como temos mais variáveis que equações ou o sistema terá infinitas soluções, ou não terá nenhuma. Mas é impossível o sistema não ter solução, pois ele é sobrejetivo! Sua imagem gera todo o contradomínio. Então essa realmente é a correta!