A1 T15 T23 T24
Seja uma matriz tal que o conjunto-solução de é e o de é . Estas informações não nos permitem concluir que:
O conjunto-solução de é .
O núcleo de é
O conjunto-solução de é o conjunto vazio.
A imagem de contém também vetores que não são gerados por e .
Passo 1
Vamos letra por letra:
Letra
Repare que ele dá soluções gerais do sistema. Ou seja, uma solução particular somada com a solução do sistema homogêneo! Temos que:
E queremos achar o do sistema:
Vamos começar tentando escrever em função de e :
De :
Substituindo em :
Substituindo de volta em :
Substituindo isso em e em para garantir que não existem equações incompatíveis:
Tudo OK. Então temos:
Agora vamos substituir os vetores:
E como sabemos que é solução do sistema homogêneo associado a , temos que como a afirmativa diz. Está correta.
Passo 2
Letra
Para compensar o trabalho que analisar a deu eles botaram essa mais tranquila haha. Como falamos no Passo 1, é a solução do sistema homogêneo associado a . E isso é exatamente o núcleo de !! Então essa está correta também.
Passo 3
Letra
Eu sei que agora era para ser a letra , mas essa vai ajudar a gente daqui a pouco, vocês vão ver haha. Se liga, se o núcleo de é ele tem dimensão . Como a matriz é , pelo , sua imagem terá dimensão .
Logo, essa é verdadeira, a imagem de contém também vetores que não são gerados por e , já que estes formam um plano apenas.
Passo 4
Letra
Já sabemos que essa é incorreta (pois todas as outras estão certas :p), mas porque? Bom, ela é bem parecida com a letra , então vamos fazer o mesmo procedimento. Vamos começar tentando escrever em função de e :
Agora repara que a equação e são incompatíveis! Se multiplicarmos por , teremos:
O que contradiz a equação ! Mas isso quer dizer que o sistema não tem solução? Não! É aí que entra a letra .
Para o sistema ter solução, teria de pertencer a imagem de , mas a imagem de não é formada apenas por e ! Existe um outro vetor que não conhecemos que acrescenta mais uma dimensão na imagem. Então poderia fazer parte da imagem, e assim o sistema teria solução, mas como não conhecemos esse terceiro vetor não podemos afirmar nada. Por isso essa é falsa.
Essa ficou bem grandinha e tem bastante coisa teórica, mas não se desespere se não entendeu tudo de cara! Essa é uma questão extra então meio que é feita para ser mais difícil haha. Dá mais uma lida se não ficou tudo claro, e se mesmo assim não entender, pode pedir ajuda pelo megafone que a gente socorre haha.
Resposta
Letra