A1 T24 T16 T15 T14
Considere três plano , , que se interceptam numa reta . Tomando o sistema linear formado pelas equações cartesianas destes planos, quais são os pontos e as nulidades da matriz de coeficientes e da matriz aumentada do sistema?
A matriz
poderia ser a matriz de coeficientes do sistema acima (item )? Como deveria ser a matriz de termos independentes, neste caso?
Passo 1
Se pegarmos as equações dos planos e jogarmos em um sistema teremos como solução desse sistema a interseção dos planos.
Sabendo disso vamos começar com a matriz de coeficientes.Como a interseção desses planos é uma reta, a solução do sistema tem que ter um grau de liberdade, logo, a dimensão do núcleo tem que ser ! Então, pelo :
Logo, a nulidade da matriz de coeficientes vale e o posto da matriz de coeficientes vale .
Como o sistema é consistente (tem solução) sabemos que a coluna que acrescentamos na matriz aumentada não altera a dimensão da imagem, pois ela é das que já estavam lá. Logo, a imagem continua igual a na matriz aumentada. No entanto, a matriz ampliada tem colunas, então, pelo temos:
Logo, para a matriz aumentada, a nulidade e o posto valem .
Passo 2
Escalonando :
Como a matriz possui duas linhas (já que não sumiram no escalonamento) ela também possui duas colunas . Logo, seu posto é e, pelo , sua nulidade vale . Então sim, ela poderia representar o sistema do item .
Passo 3
Agora para a matriz coluna de termos independentes, a única coisa que temos que garantir é que a última linha seja zerada no escalonamento! Caso contrário, o sistema não teria solução (mas nós sabemos que tem que ter!). Então:
Precisamos que:
Logo, nossa matriz de termos independentes tem que ter a forma:
Resposta
A nulidade da matriz de coeficientes vale e o posto da matriz de coeficientes vale . Para a matriz aumentada, a nulidade e o posto valem .
Sim. A matriz de termos independentes seria dada por:
Para qualquer reais.