Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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Enunciado

Achar a equação da reta tangente à curva

y   cos ⁡ π x 2 = x   cos ⁡ π y 2

No ponto 1,1

Passo 1

Antes da gente partir pras contas, vamos entender direitinho o que a questão quer: uma equação de reta tangente. Beleza, se a gente vai ter que modelar, vamos ver como a equação genérica funciona:

y - y 0 = m x - x 0

Agora vamos ver o que é o que aí. Primeiro, essa equação vale pro ponto de tangência específico x 0 , y 0 . Como esse ponto é dado na questão, e é 1,1 , já dá pra compeltar alguma coisa:

y - 1 = m x - 1

Ok, mas e esse m aí? Bem, ele vai ser a inclinação da reta tangente! E quem é a inclinação se não o valor da primeira derivada da curva no ponto de tangência? Vamos ter então que:

m = f ' x 0 = f ' 1

Mas calma, tem algo estranho aí. Olha bem pra curva:

y   cos ⁡ π x 2 = x   cos ⁡ π y 2

Seja

y = f x

y ' = f ' x

Como poderemos escrever explicitamente o y como função de x pra derivar? Bem, nem sempre dá. Quando não dá, a gente deriva implicitamente mesmo, ok?

Passo 2

Vamos derivar agora implicitamente a equação da curva. Derivando dos dois lados:

y   cos ⁡ π x 2 ' = x   cos ⁡ π y 2 '

Usando a regra do produto, a derivada fica:

y ' cos ⁡ π x 2 + y cos ⁡ π x 2 ' = x ' cos ⁡ π y 2 + x cos ⁡ π y 2 '

Como a derivada é em relação à x , usando a regra da cadeia, temos então que

y ' cos ⁡ π x 2 + y - 2 π x sin ⁡ π x 2 = cos ⁡ π y 2 + x - 2 π y   y ' sin ⁡ π y 2

y ' cos ⁡ π x 2 - 2 π x y sin ⁡ π x 2 = cos ⁡ π y 2 - 2 π x y y ' sin ⁡ π y 2

E é agora que o resultado do ponto de tangência volta, porque se aplicarmos x = 1 de novo, vamos ter que y = f 1 = 1 e y ' = f ' 1 = m . Pra não embolar, vamos substituir primeiro x por 1 . Vamos ter:

y ' cos ⁡ π - 2 π y sin ⁡ π = cos ⁡ π y 2 - 2 π y y ' sin ⁡ π y 2

- y ' = cos ⁡ π y 2 - 2 π y y ' sin ⁡ π y 2

Agora substituindo y = 1 , temos:

- y ' = cos ⁡ π - 2 π y ' sin ⁡ π

- y ' = - 1 - 2 π y ' 0

- y ' = - 1

Por fim, substituímos y ' por m , e logo:

m = 1

A equação da reta tangente vai ser então:

y - 1 = m x - 1

y - 1 = x - 1

y = x

E olha que doida que é essa curva:

Resposta

y = x

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