Encontre a equação da reta tangente à curva x^4 + y^4 = 12xy^2 - 7 no ponto (2,1) .

Passo 1

Acharmos o coeficiente angular é o mesmo que acharmos a derivada da função naquele ponto. Para isso devemos derivar implicitamente a equação da curva.

x 4 + y 4 ' = 12 x y 2 - 7 '

Aplicando as regras de derivação

4 x 3 + 4 y 3 y ' = 12 y 2 + 12 x ⋅ 2 y y '

4 x 3 + 4 y 3 y ' = 12 y 2 + 24 x y y '

Passo 2

Poderíamos escrever o valor de y ' separado, mas vamos substituir logo os valores de x e y pelos valores no ponto que isso facilita nossas contas

4 ⋅ 2 3 + 4 ⋅ 1 3 y ' = 12 ⋅ 1 2 + 24 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ y '

4 ⋅ 2 3 + 4 ⋅ 1 3 y ' = 12 ⋅ 1 2 + 24 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ y '

32 + 4 y ' = 12 + 48 y '

48 y ' - 4 y ' = 32 - 12

44 y ' = 20

y ' = 20 44 = 5 11

Passo 3

Para encontrarmos a reta tangente, basta usarmos a fórmula

y - y 0 x - x 0 = y ' x 0 , y 0

y - 1 x - 2 = 5 11

y - 1 = 5 11 x - 2 5 11

y = 5 11 x - 10 11 + 1

y = 5 11 x + 1 11

Resposta

y = 5 11 x + 1 11

Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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