Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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Enunciado

Determine os pontos da curva

x 3 + 4 y 2 - 6 x y = 0

Com coordenada x > 0 , onde a reta tangente é paralela ao eixo x

Passo 1

Opa, vamos lá. A questão ta pedindo pra gente achar pontos de tangência. Show, só que tem um detalhe: a reta tangente a esse ponto não é uma reta qualquer, e sim uma reta paralela ao eixo x , que nada mais é do que uma função constante! Logo, se a equação da reta tangente for:

y = m x + b

Então nesse a inclinação da reta tangente, que é o m , vai ser igual à 0 ! E como a inclinação da reta tangente é dada pela primeira derivada, vamos então caçar na nossa curva os pontos em que:

m = y ' = 0

Passo 2

Eita, mas a curva não ta explícita da forma y = y x , e agora?

Caaaaalma gafanhoto, se ela não está explícita, vamos derivar implicitamente em relação a x mesmo que dá certin, quer ver? Saca só:

x 3 + 4 y 2 - 6 x y ' = 0 '

3 x 2 + 8 y y ' - 6 x y ' - 6 y = 0

8 y - 6 x y ' = 6 y - 3 x 2

Ficamos com:

y ' = 6 y - 3 x 2 8 y - 6 x

Mas como vimos, y ' nesse caso vai ter que ser 0 . Temos então:

y ' = 6 y - 3 x 2 8 y - 6 x = 0

6 y = 3 x 2

y = x 2 2

Passo 3

Caraca o resultado não foi ainda um ponto, como o enunciado pediu, e sim uma curva. Mas relaxa, não é o fim do mundo porque sabemos que os pontos de tangência também estão sobre essa curva

y = x 2 2

Vamos juntar então essa curva com a do enunciado, beleza? Se:

x 3 + 4 y 2 - 6 x y = 0

Então juntando as duas curvas temos:

x 3 + 4 x 2 2 2 - 6 x x 2 2 = 0

x 3 + x 4 - 3 x 3 = 0

x 4 - 2 x 3 = 0

x 3 x - 2 = 0

Agora sim começamos a nos aproximar da resposta final. Dá uma olhada, pra

x 3 x - 2 = 0

Podemos ter ou que x = 0 ou que x = 2 ! Usando esses valores de x , temos, pra x = 0

y = 0 2 2 → y = 0

E pra x = 2 :

y = 2 2 2 → y = 2

Os pontos vão ser então:

0,0

2,2

Maravilha, só falta uma coisa: descartar o primeiro ponto. O enunciado pediu pra gente só pontos em que x > 0 então, no caso, só sobrou um! Questão resolvida galera!

Resposta

Ponto 2,2

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