Dizemos que duas curvas são tangentes em um determinado ponto quando possuem a mesma reta tangente neste ponto. Mostre que a parábola é tangente à cúbica no ponto .
Passo 1
Vamos ao coeficiente angular da reta tangente a parábola no ponto . Começaremos isolando o na equação da parábola.
Agora precisamos achar .
Passo 2
Agora o coeficiente angular da reta tangente à cúbica no ponto . A derivada será calculada implicitamente.
No ponto :
Passo 3
Já que a parábola e a cúbica passam pelo ponto e têm o mesmo valor , significa que elas possuem a mesma reta tangente nesse ponto e, portanto, são tangentes entre si no ponto .
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. y 2 y 2 - 4 = x 2 ( x 2 - 5 ) , ( 0 , - 2 ) (curva do diabo)
Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. x 2 + y 2 = 2 x 2 + 2 y 2 - x 2 , 0 , 1 2 (cardioide)
Encontre as equações de ambas as retas tangentes para a elipse x 2 + 4 y 2 = 36 que passem pelo ponto ( 12 ,3 ) .
Duas curvas são ortogonais se suas retas tangentes forem perpendiculares em cada ponto de interseção. Mostre que as famílias dadas de curvas são trajetórias ortogonais uma em relação à outra, ou seja,
28. Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. x 2 + 2 x y - 4 y ² = 12 ² , ( 2,1 ) (elipse)