Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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Enunciado

Mostre que o ponto ( 2,4 ) está na curva x 3 + y 3 - 9 x y = 0 e determine as equações da reta tangente e da reta normal à curva nesse ponto.

Passo 1

Primeira coisa é mostrar que o ponto satisfaz a essa curva né? Vamos substituir os valores e ver se a igualdade vale:

x 3 + y 3 - 9 x y = 0

( 2 ) 3 + ( 4 ) 3 - 9 ( 2 ) ( 4 ) = 0

8 + 64 - 72 = 0

0 = 0

Ou seja, o ponto está na curva. Dado isso, vamos buscar a equação da reta tangente e da reta normal à curva nesse ponto.

Passo 2

Para pensar em reta tangente temos que nos lembrar que o coeficiente dessa reta é igual à derivada no ponto em questão, ou seja, y ' quando x , y = ( 2,4 ) . Já a reta normal é perpendicular à reta tangente, sendo que vale a relação entre coeficientes angulares de retas perpendiculares:

a 1 . a 2 = - 1

Onde a 1 e a 2 são os coeficientes das duas retas.

Passo 3

Vamos descobrir primeiro a reta tangente. Para isso precisamos derivar o termo e calcular y ' nesse ponto:

3 x 2 + 3 y 2 y ' - 9 y - 9 x y ' = 0

Assim, no ponto ( 2,4 ) , y ' vai valer:

3 2 2 + 3 4 2 y ' - 9 ( 4 ) - 9 ( 2 ) y ' = 0

12 + 48 y ' - 36 - 18 y ' = 0

30 y ' = 24

y ' = 4 5

Sendo a reta tangente uma equação com formato y = a 1 x + b 1 , sabemos que a 1 = 4 5 . Sabemos ainda que essa reta passa no ponto ( 2,4 ) , assim determinamos o b 1 :

y = a 1 x + b 1

( 4 ) = 4 5 2 + b 1

b 1 = 12 5

Logo, a reta tangente é:

y = 4 x + 3 5

Passo 4

Para descobrir o coeficiente angular da reta normal que eu vou modelar como y = a 2 x + b 2 usamos a relação do passo 2 :

a 1 . a 2 = - 1

a 2 = - 1 a 1 = - 5 4

Bom, assim como a reta tangente a normal também passa por ( 2,4 ) . Dessa forma, temos como achar o b 2 :

y = a 2 x + b 2

4 = - 5 4 2 + b 2

b 2 = 6,5 = 26 4

Então a reta normal será:

y = - 5 x + 26 4

Resposta

R e t a   T a n g e n t e :   y = 4 x + 3 5   ; R e t a   N o r m a l :   y = - 5 x + 26 4

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