Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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Enunciado

Considere a curva definida pela equação x y 2 + x y = 2 . Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto ( 1 ,   1 ) .

Passo 1

Para sabermos a equação da reta tangente precisamos do coeficiente angular, que será dado pela derivada em relação a x . Essa derivada será obtida por derivação implícita.

( y 2 + 2 x y y ' ) + ( x y ) ' = 0

( y 2 + 2 x y y ' ) + ( 1 2 x y + x 1 2 y y ' ) = 0

y 2 + 2 x y y ' + 1 2 x y + x 1 2 y y ' = 0

Passo 2

O ponto dado é ( 1 ,   1 ) . Então vamos substituir x = 1 e y = 1 na expressão acima:

1 2 + 2 ( 1 ) ( 1 ) y ' + 1 2 1 1 + 1 1 2 1 y ' = 0

1 + 2 y ' + 1 2 + 1 2 y ' = 0

2 y ' + 1 2 y ' = - 1 - 1 2

y ' 2 + 1 2 = - 3 2

y ' 5 2 = - 3 2

y ' = - 3 2 5 2

y ' ( 1 ) = - 3 5

Passo 3

A equação da reta tangente é dada por

y - y 1 = m ( x - 1 )

Como y 1 = 1 e m = - 3 5 , a resposta é:

y - 1 = - 3 5 ( x - 1 )

y - 1 = - 3 x 5 + 3 5

y = - 3 x 5 + 8 5

Resposta

y = - 3 x 5 + 8 5

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