2. Determine todos os pontos sobre a curva definida pela equação para os quais a reta tangente à curva no ponto é paralela à reta de equação .
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Para resolver esse problema envolvendo a reta tangente de uma curva temos que lembrar que essa reta tangente precisa satisfazer a seguinte equação,
Onde e são as coordenadas onde essa reta tagente toca acurva, e é exatamente isso que o problema nos pede para encontrar!
Agora, repara também que para acharmos a reta tagente, precisamos da derivada de no ponto , ou seja, precisamos achar .
Então bora achar a função .
Passo 2
O primeiro passo para acharmos é derivar implicitamente! Temos a seguinte função,
Agora vamos derivar em função de , aplicando a regra do produto em cada termo e lembrando que
Ajeitando a equação ficamos com
Até agora estamos trabalhando com a função. Mas, como queremos no ponto , vamos substituir as coordenadas do ponto
Agora estamos no ponto, então esse que aparece é justamente o . Precisamos descobrir esse termo pra substituir aí. E você vai ver o truque que vamos fazer agora pra achar
Passo 3
Para encontrar quem é temos que nos atentar a uma informação muito importante do enunciado: ele nos diz que a reta tangente é pararela a reta .
Ou seja, se as retas são paralelas, elas possuem o mesmo coeficiente angular. No caso da reta , o coeficiente angular é .
Mas vamos lembrar bem rapidinho da equação geral de qualquer reta . Se a gente derivar, a gente ve que a derivada é justamente o coeficiente angular, olha: .
Então ) é o coeficiente angular da reta tangente:
Como isso, nossa equação ficará assim
Logo, temos a relação ente e :
Agora precisamos achar que valor tem e .
Para isso, vamos substituir essa informação da equação original!
Passo 4
O problema nos forneceu,
E já achamos que
Substituindo na equação, ficamos com
Deste modo temos que e . Ou, e .
Logo, os pontos sobre a curva definida pela equação para os quais a reta tangente à curva no ponto é paralela à reta de equação são:
Prontinho! Vamos para próxima!