Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

Ver Teoria
Exercício 1812345678910111213141516171920212223242526272829303132333435363738394041424344454647

Enunciado

  1. Calcule a derivada da função

    2. f x = sin ⁡ e x ⋅ ln ⁡ cos ⁡ x .

  2. Considere a curva definida implicitamente pela equação

ln ⁡ y 2 + x 2 = x y + 1 .

Determine a equação da reta tangente à curva no ponto 0 ,   e .

Passo 1

a )

Aqui não têm muito mistério. Basta derivar mesmo tomando cuidado em algumas etapas para não esquecer alguma coisa. Veja só:

1º - É um produto, então temos que derivar de acordo com a regra do produto...

f x = sin ⁡ e x ⋅ ln ⁡ cos ⁡ x     →  

f ' x = sin ⁡ e x ln ⁡ cos ⁡ x ' + sin ⁡ e x ' ln ⁡ cos ⁡ x

Aplicado a regra da cadeia, é hora de derivar cada um desses termos. Bora lá?

Passo 2

2º - Derivando o termo ln ⁡ cos ⁡ x ' tomando cuidado com a regra da cadeia...

ln ⁡ cos ⁡ x ' = 1 cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ x ' =

Como a derivada do cosseno é - sin ⁡ x ...

ln ⁡ cos ⁡ x ' = - sin ⁡ x cos ⁡ x

3º - Derivando agora o outro termo coma regra da cadeia na mente também...

sin ⁡ e x ' = cos ⁡ e x ⋅ e x ' =

sin ⁡ e x ' = e x cos ⁡ e x

Passo 3

Voltando então para a derivada geral que estávamos resolvendo...

f ' x = sin ⁡ e x ln ⁡ cos ⁡ x ' + sin ⁡ e x ' ln ⁡ cos ⁡ x →

f ' x = - sin ⁡ e x sin ⁡ x cos ⁡ x + e x cos ⁡ e x ln ⁡ cos ⁡ x

Passo 4

b )

Uma reta tangente a uma curva em um ponto x = a é dada por:

y = f ' a x - a + f a

No caso, a = 0 e f a = e ...

y = f ' 0 x + e

Então, a única coisa que nos falta determinar aqui é a derivada no ponto a . Para calcular essa derivada, vamos ter que derivar implicitamente y = f x ...

ln ⁡ y 2 + x 2 = x y + 1

Passo 5

Para derivadas implícitas é muito bom usarmos a notação d y d x ao invés de f ' x . É mais prático. Calculando a derivada em cada lado daquela igualde em relação x ...

d ln ⁡ y 2 + x 2 d x = d x y + 1 d x

Aplicando a regra da cadeia...

1 y 2 + x 2 ⋅ d y 2 + x 2 d x = d x y d x

Derivando y em relação a x implicitamente em seguida o derivando o x em relação ao x ...

1 y 2 + x 2 2 y d y d x + 2 x d x d x = d x y d x →

1 y 2 + x 2 2 y d y d x + 2 x = d x y d x →

Derivando o produto do outro lado...

1 y 2 + x 2 2 y d y d x + 2 x = x d y d x + y d x d x   →

1 y 2 + x 2 2 y d y d x + 2 x = x d y d x + y

Prontinha, está derivada implicitamente!

Como buscamos o d y 0 d x para o ponto 0 ,   e ...

1 y 2 + x 2 2 y d y d x + 2 x = x d y d x + y         →             1 e 2 + 0 2 e d y 0 d x = e     →

2 e e d y 0 d x = e →

Isolado...

d y 0 d x = e e 2 e = e 2

Passo 6

Então a equação da reta tangente é...

y = f ' 0 x + e

y = e 2 x + e

Resposta

a )     f ' x = - sin ⁡ e x sin ⁡ x cos ⁡ x + e x cos ⁡ e x ln ⁡ cos ⁡ x

b )       y = e 2 x + e

Exercícios de Livros Relacionados

Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. y 2 y 2 - 4 = x 2 ( x 2 - 5 ) , ( 0 , - 2 ) (curva do diabo)
Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. x 2 + y 2 = 2 x 2 + 2 y 2 - x 2 , 0 , 1 2 (cardioide)
Encontre as equações de ambas as retas tangentes para a elipse x 2 + 4 y 2 = 36 que passem pelo ponto ( 12 ,3 ) .
Duas curvas são ortogonais se suas retas tangentes forem perpendiculares em cada ponto de interseção. Mostre que as famílias dadas de curvas são trajetórias ortogonais uma em relação à outra, ou seja,
28. Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. x 2 + 2 x y - 4 y ² = 12 ² , ( 2,1 ) (elipse)