Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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Enunciado

Considere a curva plana C definida por:

x + arctg ⁡ x y - sen ⁡ π y = 0

Seja y ' = d y d x a derivada de y implicitamente definida como função de x .

  1. Encontre uma expressão para y ' em termos de x e y .
  2. Obtenha uma equação para a reta tangente à curva C no ponto P de coordenadas 0 ,   1 .

Passo 1

(a)

A equação da curva é:

x + arctg ⁡ x y - sen ⁡ π y = 0

Derivando implicitamente em relação a x :

1 + 1 1 + x y 2 x y ' - π cos ⁡ π y y ' = 0

Pela regra do produto, temos que

x y ' = y + x y '

Então vamos ter

1 + y + x y ' 1 + x 2 y 2 - π y ' cos ⁡ π y = 0

π y ' cos ⁡ π y - y + x y ' 1 + x 2 y 2 = 1

π y ' cos ⁡ π y - y 1 + x 2 y 2 - x y ' 1 + x 2 y 2 = 1

π y ' cos ⁡ π y - x y ' 1 + x 2 y 2 = 1 + y 1 + x 2 y 2

Passo 2

Botando y ' em evidência no lado esquerdo:

y ' π cos ⁡ π y - x 1 + x 2 y 2 = 1 + y 1 + x 2 y 2

Então y ' vai dar essa belezura aqui:

y ' = 1 + y 1 + x 2 y 2 π cos ⁡ π y - x 1 + x 2 y 2

Até dá pra simplificar, mas creio que não tem problema deixar assim mesmo.

Passo 3

(b)

No ponto 0 ,   1 :

y ' = 1 + 1 1 + 0 π cos ⁡ π - 0 1 + 0 = 1 + 1 - π - 0 = - 2 π

A equação da reta tangente que passa pelo ponto 0 ,   1 é:

y - 1 = y ' x - 0

y = y ' x + 1

⇒ y = - 2 π x + 1

Resposta

(a)

y ' = 1 + y 1 + x 2 y 2 π cos ⁡ π y - x 1 + x 2 y 2

Obs: Simplificando, dá

y ' = 1 + x 2 y 2 1 + x 2 y 2 π cos ⁡ π y - x

(b)

y = - 2 π x + 1

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