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Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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Enunciado

Considere a curva C dada por y = tan ⁡ x 2 y 3 + 2 e y - 2 .

a) Determine y ' = d y d x em termos de x e y .

b) Encontre a equação da reta tangente a curva C no ponto 0,2

Passo 1

Eita mas que equação de curva doida! Mas não tem jeito, vamos ter que derivar. Olha, mesmo y não sendo escrito como y = y x , dá pra derivar implicitamente! Fazendo isso, vamos precisar usar regras da cadeia tanto pra parte do tan ⁡ x 2 y 3 quanto pra do 2 e y - 2 . Nossa derivada implícita vai ter essa carinha:

y ' = sec 2 ⁡ x 2 y 3 x 2 y 3 ' + 2 e y - 2 y - 2 '

Fazendo regra do produto também, temos:

y ' = sec 2 ⁡ x 2 y 3 x 2 ' y 3 + x 2 y 3 ' + 2 e y - 2 y '

y ' = sec 2 ⁡ x 2 y 3 2 x y 3 + 3 y 2 y ' x 2 + 2 e y - 2 y '

y ' = 2 x y 3 sec 2 ⁡ x 2 y 3 + 3 y 2 y ' x 2 sec 2 ⁡ x 2 y 3 + 2 e y - 2 y '

Jogando os termos que tem y ' pra esquera e colocando o próprio em evidência:

y ' - 3 y 2 y ' x 2 sec 2 ⁡ x 2 y 3 - 2 e y - 2 y ' = 2 x y 3 sec 2 ⁡ x 2 y 3

y ' 1 - 3 y 2 x 2 sec 2 ⁡ x 2 y 3 - 2 e y - 2 = 2 x y 3 sec 2 ⁡ x 2 y 3

Chegamos a expressão que a letra a ) pede:

y ' = 2 x y 3 sec 2 ⁡ x 2 y 3 1 - 3 y 2 x 2 sec 2 ⁡ x 2 y 3 - 2 e y - 2

Doido né?

Passo 2

Agora pra achar a equação da reta tangente temos que lembrar da equação genérica:

y = a x - x 0 + y 0

Onde a = y ' x 0 é o coeficiente angular da reta e P = x 0 , y 0 é o ponto de tangência, Do enunciado, já da pra simplificar um pouco

P = 0,2

Logo:

x 0 = 0

y 0 = 2

A equação fica:

y = y ' 0 x + 2

E o coeficiente angular da pra gente calcular tranquilo se pegarmos o resultado do passo 1 e substituirmos x , y pelos valores de x 0 , y 0 . Saca só:

y ' 0 = 2 x 0 y 0 3 sec 2 ⁡ x 0 2 y 0 3 1 - 3 y 0 2 x 0 2 sec 2 ⁡ x 0 2 y 0 3 - 2 e y 0 - 2

y ' 0 = 2.0 . 2 3 sec 2 ⁡ 0 2 2 3 1 - 3 . 2 2 . 0 2 sec 2 ⁡ 0 2 2 3 - 2 e 2 - 2 = 0

Sendo assim a equação da reta tangente é simplesmente:

y = 2

Resposta

y ' = 2 x y 3 sec 2 ⁡ x 2 y 3 1 - 3 y 2 x 2 sec 2 ⁡ x 2 y 3 - 2 e y - 2

y = 2

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