UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - UNICAMP (MA111) - Lista 7, Questão 9
(9) Se são diferenciáveis em , então e são necessariamente diferenciáveis em ? Se e são diferenciáveis em , quais as condições sobre garantem que seja diferenciável em ?
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nesse problema foi dado algumas situações de derivação e temos que julgar em quais condições tal situação é verdadeira.
Sacou? Bora começar! 😉
Passo 2
A primeira situação nos diz que se são diferenciáveis em , então e são necessariamente diferenciáveis em .
Para responder essa pergunta temos que olhar para as propriedades das derivadas.
Pela propriedade da soma, sabemos que a derivada da soma é igual a soma das derivadas, ou seja
Portanto, sim! Se são diferenciáveis em , então e são necessariamente diferenciáveis em .
Bacana, não é? 😊
Passo 3
Agora na segunda situação temos que e são diferenciáveis em , quais as condições sobre garantem que seja diferenciável em .
Temos a derivada de um produto, então o resultado é obtido a partir da regra do produto, ou seja
Vamos isolar para ver o que podemos encontrar...
Já foi dito que e são diferenciáveis em porém, para ser derivável em , tem que ser uma constante diferente de para que a fração exista.
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
Resposta
1. são diferenciáveis em , então e são necessariamente diferenciáveis em .
2. tem que ser uma constante diferente de .